166 理解标准差在涉及标准分和正态分布的现实生活问题时的应用 .PDF

香港中學文憑 數學科 必修部份 非基礎課題 v1.2 16.6. 解標準差在涉及標準分和正態分佈的現實生活問題時的應用 （Understanding the Applications of Standard Deviation to Real-life Problems involving Standard Scores and the Normal Distribution ） l 標準差嘅值除咗可以用嚟量度數據離差嘅之外，標準差喺統計上亦有更重要嘅用途。 n 喺課入面就要求我哋識標準差喺標準分同正態分佈上嘅應用。 16.6.1. 標準分 l 標準分嘅槪念其實好簡單，就係將一個數據嘅值“標準化”。 l 我哋可以用以下嘅例子嚟理解標準分嘅用途： n 小明上學期數學考試嘅分數喺80 分。因為想考好D ，所以小明請咗補習老師幫 補 數。結果下學期考試分數係75 分。 n 咁到底補習對小明係唔係冇幫助呢？ u 就咁睇就好似係冇幫助 。 u 但如果上學期班入面嘅平均分係85 分、而下學期考試班嘅平均分係70 分，咁又 好似唔同講法（因為小明補習後嘅分數變得比平均分高）。 u 當然 ，上面嘅例子好似極端咗少少 。 咁如果上學期考試班入面嘅平均分係70 分、而下學期考試班嘅平均分係65 分呢？ 小明兩次嘅分數都係高過平均分10 分。咁又點呢？ ÿ 喺依個時候我哋就可以先將小明兩次嘅分數“標準化”，然後再作比較。 l 通常標準分會用z 嚟代表 ，而標準分嘅計算方法係： x − x z = σ n 當中 x 係別個數據原來嘅值 （原值） x 係數據組嘅平均值 σ 係數據組嘅標準差 n 由以上嘅公式我哋可以見到標準分其實係講緊 “某個數據嘅值同平均數嘅距離係幾 多個標準差”，而標準分嘅正負就代表咗數據嘅原值喺高過定低過平均分。 l 用返小明數學考試嘅例子。如果 ，第一次成班嘅平均分係70 分，而標準差係5 分。而第 二次成班嘅平均分係65 分，而標準差係3 分。 n 咁小明第一次數學考試嘅標準分 = (80 70) / 5 = 2 n 而小明第二次數學考試嘅標準分 = (75 65) / 3 = 5 n 因為小明嘅標準分有所提升 ，所以補習對小明嚟講應該有用。 總結 ：透過以標準差作單位嚟量度數據與嘅平均數嘅距離，標準分往往能消除一D 環境 因素（例如考試卷嘅深淺）、從而更有意思地表達 該數據嘅喺數據組內嘅高低 。 中學文憑溫習室 http://www.takwing.idv.hk/dse_room 香港中學文憑 數學科 必修部份 非非基基礎課題礎課題 v1.2 16.6.2. 正態分佈 l 正態分佈簡單嚟講就係“正常””嘅分佈。 n 而所謂嘅正常亦可以話係 ““最常見”或者大家都 “期望係咁”嘅分佈嘅分佈情況情況 。 l 要理解咩係正態分佈，我哋先睇先睇吓吓以下嘅假設例子。 n 假設香港成年人人嘅嘅平均平均身身高高係係165cm 。我哋隨機抽 5000 成年人量度量度身身高高。 n 如果我哋將數據每10cm 分一分一組組 。我諗你好自然都會認為： u 最多人嘅組別會係“116600ccmm - 169cm”嗰組（因為因為平均平均數喺數喺依組依組入面入面）。 u “170 - 179cm”嗰嗰組組應應該會比該會比 ““180 - 189cm”嗰組多人 。 ÿ 即距距離離平均平均數數越遠越遠 ，組別內嘅人數就會越少 。 n 其實其實你你有有咁咁嘅嘅認認同係因為同係因為你你一一早早就就接受接受咗上嘅咗上嘅身身高高係係 “正常咁分佈” 。。 l 右面顯示咗幾個“同自然有關””嘅統計數據 n x-軸可以睇成