2 杆的纵向受迫振动.PPT

基地建设目标和总体思路 返回首页 连续系统振动 2 杆的纵向受迫振动 返回首页 2 杆的纵向受迫振动 2.1 杆对初始条件的响应 2.2 杆对任意激励的响应 返回首页 2 杆的纵向受迫振动 2.1 杆对初始条件的响应 与有限多自由度系统一样，在对杆进行的纵向自由振动分析的基础上，可以用振型叠加法求解杆对纵向任意激励的响应。 杆的自由振动微分方程 假定在给定的边界条件下，已经得到各阶固有频率及相应的正则振型。 根据类似于多自由系统的线性变换，设通解为 第i阶正则坐标 第i阶正则振型函数 返回首页 2 杆的纵向受迫振动 2.1 杆对初始条件的响应 通乘以 并沿杆长l积分 这就是以正则坐标表示的杆作纵向自由振动的运动方程。 考虑到正交性条件及标准化条件，上式成为 返回首页 2 杆的纵向受迫振动 2.1 杆对初始条件的响应 设杆的初始条件为 正则坐标变换 乘以 沿x杆长对积分，得 将正交性和归一化条件代入 返回首页 2 杆的纵向受迫振动 2.1 杆对初始条件的响应 得到杆以正则坐标表示下的对初始条件的响应 得到杆对初始条件的总响应 返回首页 2 杆的纵向受迫振动 2.1 杆对初始条件的响应 例3 一端固定，一端自由的等直杆，长为l。自由端受到轴向常拉力P的。设在t=0时突然去掉此力，求杆的纵向自由振动。 杆的初始条件为 杆的固有频率及主振型为 解：根据题意，t=0时杆内的应变为 返回首页 2 杆的纵向受迫振动 2.1 杆对初始条件的响应 杆的固有频率及主振型为 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型为 返回首页 2 杆的纵向受迫振动 2.1 杆对初始条件的响应 得到正则坐标表示的初始条件为 得到杆以正则坐标表示下的对初始条件的响应 于是杆的自由振动为 返回首页 2 杆的纵向受迫振动 2.1 杆对初始条件的响应 令x=l，其中 ， 若将t=0代入上式，可得初始时自由端的位移。 得杆的自由端的自由振动 返回首页 2 杆的纵向受迫振动 2.1 杆对初始条件的响应 此题也可以用直接求解方法解出。根据已解出的固有频率及主振型函数可写出杆的振动方程为 常数Ai , Bi由初始条件确定。初始条件为 再利用三角函数的正交性可得 返回首页 2 杆的纵向受迫振动 2.1 杆对初始条件的响应 三角函数的正交性 返回首页 2 杆的纵向受迫振动 2.2 杆对任意激励的响应 并沿杆长l积分 受迫振动微分方程 通乘以 这就是在激励q(x,t)作用下按正则坐标表示的杆的受迫振动的运动微分方程。 利用正交性及归一化的条件 返回首页 2 杆的纵向受迫振动 2.2 杆对任意激励的响应 将形如上式的各个正则坐标表示的响应代入,便得到杆的初始条件下对任意激励的响应为 写出第i个以正则坐标表示的响应为。 返回首页 2 杆的纵向受迫振动 2.2 杆对任意激励的响应 例4 如图所示两端固定的杆，突然受到均布纵向力q(常数)的作用，试求其响应。设初始条件均为零。 解：得该杆的固有频率和主振型为 将主振型代入归一化条件，得 返回首页 2 杆的纵向受迫振动 2.2 杆对任意激励的响应 考虑到q为常量，并且初始条件均为零，得 得到正则振型为 返回首页 2 杆的纵向受迫振动 2.2 杆对任意激励的响应 例5 图示的等直杆在自由端作用有简谐激振力，其中为F0常数，求杆的纵向稳态受迫振动。 解： 由例3 已知杆的正则振型为 得第i个正则方程为 在本例中由于激励不是沿杆身作用的分布力，而是集中力。 返回首页 2 杆的纵向受迫振动 2.2 杆对任意激励的响应 对于如图所示的在 处的集中力， 利用 函数， 第i个正则方程为 由上式求出正则坐标的稳态响应为 F(t) F(t) 表示为分布力 返回首页 2 杆的纵向受迫振动 2.2 杆对任意激励的响应 于是杆的稳态受迫振动为 当激振力频率 等于杆的任一阶固有频率pi时，都会发生共振。 返回首页 连续系统振动 3 梁的横向自由振动 返回首页 3 梁的横向自由振动 3.1 梁的横向振动微分方程 3.2 固有频率和主振型 返回首页 3 梁的横向自由振动 3.1 梁的横向振动微分方程 图中的直梁在xy平面内作横向振动。假设梁的各截面的中