2.4 离散系统状态方程的解定常离散系统状态方程的解.PPT

* Φ(k) = G k = P ?k P ?1 * (2) 当离散系统矩阵G的特征值有重根时 Φ(k) = G k = QJ kQ ?1 4．化为G的有限项法 应用凯莱-哈密尔顿定理，系统矩阵G满足其自身的零化多项式。离散系统状态转移矩阵可化为G的有限项，即 式中αi(k) ( i = 0，1，… n ?1)为待定系数，可仿照连续系统的方法来求取。 * 例2-17 线性定常离散系统的状态方程为 试求系统的状态转移矩阵Φ(k)。 解：离散系统特征方程为 * * 结 束 * 现代控制理论基础 * 2.3 线性离散系统的状态空间表达式及连续系统的离散化 2.3.1 离散系统的状态空间表达式 1.一般形式 式中：T是采样周期。方程中的矢量，各系数矩阵的名称和维数都与连续系统相同，为简单常省去T将方程写成如下形式 即： 2.结构图。上述方程可用结构图来表示 * 3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表达式之间的转换 在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式之间的变换，和连续系统分析相类似。 脉冲传函 状态空间表达式 离散 差分方程 连续 D.E T.F S.E * 解：1) G(z) 差分方程 状态空间表达式 例2-11 已知脉冲传递函数为 试求其状态空间表达式。 y(k+2) + 5y(k+1) + 6y(k) = u(k+2) + 2u(k+1) + u(k) * * 2) G(z) 部分分式法 状态空间表达式 * 4.状态空间表达式 G(z) G(z) = C(zI ?G ) ?1H + D * 对连续系统，若常用数字计算机进行实时控制或求解，首先必须把连续系统转化成离散系统，这个过程称之为连续系统的离散化。 2.3.2 定常连续系统的离散化 离散系统 定常连续系统 离散化 * 取t0 = kt , t = (k+1)T 1、直接离散化： 离散化的实质就是用一个矩阵差分方程去代替一个矩阵微分方程。 在kT ? ? ? (k+1)T ，其输入向量u(t) = u(kT)，则状态方程的解为 * 对第二项积分作变量代换： 令t = (k+1)T ? ? ； dt = ? d ? 上限： ? = (k+1)T，t = (k+1) T ? ? = 0 下限： ? = kT , t = (k+1)T ? ? = T y(t) = Cx(t)+ Du(t) y(kT) = Cx(kT)+ Du(kT) * 例2-12 求 的离散化方程。 解：先求eAt： ?(t) = eAt =L?1[ (sI ?A ) ?1 ] * x(k+1) = Gx(k) + Hu(k) * U(s) G0(s) Y(s) 2、由脉冲传函实现离散化 步骤： 1) 首先求连续系统的传递函数 2) 按照离散系统的结构图求脉冲传函 3) 按脉冲传函与标准型状态空间表达式的关系写出离散化的状态空间表达式 * 解：因为离散化后的系统结构图为： U(s) 例2-13 已知连续系统的传递函数为 试求其离散化状态空间表达式 * * 2.3.3 定常连续系统的离散化的近似方法 近似方法出发点：用差商代替微商 x(k+1) = [I +TA]x(k) + TBu(k) G = I +TA H =TB * 例2-13 求 的近似离散化方程。 解： H * 当T = 0.1时 * 2.4 离散系统状态方程的解 定常离散系统状态方程的解：（两种方法） 2.4.1 迭代法 x(k+1) = Gx(k) + Hu(k) 依次将采样时刻k=0，1，2，3,…代入上式即可。 k=0时,x(1)=Gx(0)+Hu(0) k=1时,x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G2X(0)+GHu(0)+Hu(1) … * 几点讨论： (1) 定常离散系统的状态解由两部分组成： 由初始状态引起的响应——反映系统的自由运动——零输入响应 由输入引起的响应——反映系统的强迫运动——零状态响应。 (2) 第k个采样时刻的状态，只与采样时刻0, 1, 2, …, k-1时的输入值有关系，而与第k个次采样时刻输入值无关，这是惯性系统的一个基本特征； * φ(k)也满足状态转移矩阵的两个定义条件： 矩阵差分方程：φ(k+1) = Gφ(k) 初