21 数学模型的构成要素 变数.PPT

2.1 數理模型的構成要素 2.2 實數體系 2.3 集合的觀念 2.4 關係與函數 2.5 函數的類型 2.6 兩個或更多自變數之函數 2.7 一般型函數 2.1 數理模型的構成要素 一經濟模型僅指理論架構 ,因此不一定為數學式。 數理模型通常以一組方程式(equation)描述模型之結構。 這些方程式是將所採取之假設， 以多個變數之數學式表示。 然後， 經由方程式之數學運算， 可導出符合假設之一組結論。 例：供需模型 1 集合 集合之間的關係： 1.全等(equal)， 2.子集合(subset) ， 包含於，包含， 子集合的個數，空集合(empty set) 虛集合(null set) 3.互斥(disjoint) 4. 第4種關係，為當兩個集合有某些元素相同，有些卻不同，此二集合既不相等，也不互斥，且任一集合皆非對方之子集合。 序對 (ordered pairs) 寫出一集合{a, b}時，我們不考慮元素a, b之出現次序，依定義 {a, b}＝ {b, a}，此種情形下，兩元素a, b為非序對（unordered pairs）。 考慮元素a與 b之出現先後次序時，則兩個不同序對(ordered pairs)，(a, b)與(b, a)，兩者具有如下性質：除非a＝b，否則 (a, b)≠(b, a)。 同樣觀念可推廣及包含兩個以上之集合，凡按次序的2元素、3元素集合等等，統稱為有序集合（ordered sets）。 例 序對 (ordered pairs)也可成為一集合之元素。圖 2.4 之直角座標平面，其中 x 軸與 y 軸相交呈一直角，此一 x y 平面為由無限多點構成之集合，每個點皆可代表一序對，而第一個元素為x值，第二個元素為y值。因此，點（4，2）不同於點（2，4），也就是說，此時元素出現次序是具有意義的。 序對產生之過程 假設由兩個已知集合，x ＝{1, 2}和y＝{3, 4}，以第一個元素取之于x，第二個元素取之于y，可以形成4種可能的序對，（1，3），（1，4），（2，3），（2，4）之集合。 此集合稱 x 與 y 的笛卡兒乘積（cartesian product），或集合x與y之直接乘積（direct product），以x × y表示之。 關係與函數 注意，從一種關係中，已知 x 值，不一定必可找到惟一的y值對應之。如例4。 有一種特殊的關係，即對每一x值而言，僅有一個y值與之對應。如例3 之情況。此時，稱 y 為 x 之一函數（function），以符號 y = f (x)表示之，讀作：y等於f (x)。 因此，函數為一序對集合，並具有對任一x而言，可決定任一y值之性質者。 函數必為一種關係，但關係不必為一函數。 函數 於函數y = f (x)中，稱 x為函數變量（argument），稱 y為函數值（value）。 亦稱 x為自變數（independent variable），稱y為應變數（dependent variable）。 函數 x 所有可能值之集合，稱為函數之定義域（domain），可能為所有實數集合之一子集合。 x值之投影 y 值稱為該x值之映像（image），所有映像之集合稱為函數之值域（range），為所有可能y值之集合。 乘冪說明 定義 2-5作業 1.2.5.6 兩個或多個獨立變數的函數 函數之觀念可擴及兩個或更多個自變數之情況。 例如 z ＝ g（x, y） 表示由已知任何一對x 與y 值，則可決定一應變數z值。 此時定義域不為數的集合，而是序對（x, y）之集合。 函數g 如同將二度空間之點映至一線段之點，如圖2.9a，由點（x1, y1）映至點 z1，或由（x2, y2）映至z2。 若z軸垂直于x y平面，如圖29.b所示，則函數g之圖形為一三度空間。對任何在定義域上之點，其對應之函數值（z），可以垂直於該點之線段高度表之。 因此三變數間之組合可以三重序對（x1, y1, z1）表之，此三重序對的軌跡圖形稱為表曲面（surface）。 兩個或多個獨立變數的函數 經濟模型中，有很多場合用到此種形式之函數。 如生產函數：Q ＝ Q（K, L）。 效用函數：U=U（x1,x2,x3）。 當然，也可以更進一步擴及三個或更多自變數的情況。 例如，函數y = h（u, v, w）而言，係將三度空間之一點（u1, v1, w1）映至一度空間之點y1。 此種四度空間之四重序對構成之圖形，稱為超表面（hypersurface）。 點與超表面等這些觀念可推廣至n度空間。 兩個或多個獨立變數的函數 多于一個變數之函數可分成多種形式。 例如：y = a1x1 + a2x2 + …+ anxn 即為一直線型（linear）函數，其特點為每一變數次數僅一次方