32 一维单原子链晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式—— 格波 .PPT

03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质 §3.2 一维单原子链 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程 一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a —— 原子之间的作用力 第n个原子离开平衡位置的位移 第n个原子和第n＋1个原子间的相对位移 第n个原子和第n＋1个原子间的距离 平衡位置时，两个原子间的互作用势能 发生相对位移 后，相互作用势能 —— 常数 简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项 相邻原子间的作用力 —— 平衡条件 原子的运动方程 —— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力 第n个原子的运动方程 —— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同 方程解和振动频率 设方程组的解 naq — 第n个原子振动位相因子 得到 —— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱 格波的意义 连续介质波 波数 —— 格波和连续介质波具有完全类似的形式 —— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为?的振动 格波方程 —— 格波的波形图 —— 简谐近似下，格波是简谐平面波 —— 向上的箭头代表原子沿X轴向右振动 —— 向下的箭头代表原子沿X轴向左振动 格波波长 格波波矢 格波相速度 不同原子间位相差 格波方程 相邻原子的位相差 波矢的取值和布里渊区 格波 相邻原子位相差 —— 原子的振动状态相同 格波2(Green)波矢 格波1(Red)波矢 相邻原子位相差 相邻原子的位相差 —— 两种波矢的格波中，原子的振动完全相同 波矢的取值 相邻原子的位相差 —— 第一布里渊区 —— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容 玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件 —— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个原子的振动形式都一样 —— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述 ? N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的特点 ? 处理问题时要考虑到环链的循环性 ? N很大，原子运动近似为直线运动 设第n个原子的位移 再增加N个原子之后，第N+n个原子的位移 则有 要求 —— h为整数 波矢的取值范围 h — N个整数值，波矢q —— 取N个不同的分立值 —— 第一布里渊区包含N个状态 每个波矢在第一布里渊区占的线度 第一布里渊区的线度 第一布里渊区状态数 波矢 格波的色散关系 ? 频率是波数的偶函数 ? 色散关系曲线具有周期性 —— q空间的周期 频率极小值 频率极大值 只有频率在 之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减 —— 一维单原子晶格看作成低通滤波器 色散关系 格波 —— 长波极限情况 当 —— 一维单原子格波的色散关系与连续 介质中弹性波的色散关系一致 相邻原子之间的作用力 格波传播速度 连续介质弹性波相速度 —— 连续介质的弹性模量和介质密度 —— 长波极限下，一维单原子晶格格波可以看作是弹性波 —— 晶格可以看成是连续介质 长波极限情况 —— 伸长模量 格波 —— 短波极限情况 —— 一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质 短波极限下 —— 相邻两个原子振动的位相相反 长波极限下 ，相邻两个原子之间的位相差 长波极限下 短波极限下 相邻两个原子振动位相差 原子位移和简正坐标的关系 第q个格波引起第n个原子位移 第n个原子总的位移 令 原子坐标和简正坐标的变换 —— 线性变换为么正变换 动能和势能的形式 —— N项独立的模式，具有正交性 动能的正则坐标表示 势能的正则坐标表示 原子位移 为实数 —— ——正交性 势能 将 代入得到 哈密顿量 —— 系统复数形式的简正坐标 系统势能 实数形式的简正坐标 令 哈密顿量 能量本征值 声子 —— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子 一个格波是一种振动模，称为一种声子，能量为 当这种振动模处于 时，说明有 个声子 本征态函数 —— 一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数 —— 声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用 —— 晶格振动的问题 ? 声子系统问题