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4-3球面方程式
4-4球面與平面的關係
重點整理
球面與平面的關係:的中心到平面的距離為,且球面的半徑為(1)若,則球面與平面不相交。(2)若,則球面與平面相切。(3)若,則球面與平面截出一個圓,其圓心為在之投影點。
過球面與平面截出一個圓,則截圓的半徑為。:(1)上一點的切平面方程式為。(2)上一點的切平面之方程式為。球面與直線之關係:的中心到直線的距離為,且球面的半徑為,(1)若,則球面與直線不相交。(2) 若,則球面與直線相切。(3) 若,則球面與直線相交於兩點。
弦長:若直線與球面相交於二點,且球面半徑為,球心到直線的距離為,則。外一點 的切線段長為。與球面切於點,且過的直線與球面相交於、 二點,則
求之值,使球面與平面相交(包括相切)
類1. 試就值討論球面與平面的相交情形 。i)時,沒有交點,(ii)時,相切於一點,(iii)時,交於一圓
平面截球於一圓,則此圓的圓心坐標為__________。。 ,,(1)與是否相交?(2)與相交, , 。Ans: 1. (1)是,(2)。的圖形為 。,,,?平面交於平面上之圓,且通過點,試求此球面之方程式。
類1. 一球面被平面所截之圓方程式為,上, 。2. 設球面與平面的截圓方程式,與平面之截圓方程式,的方程式。
Ans: 1. ,2. 。之方程式為;上點之切平面,則點與平面之距離為__________。為上一點,則,以為切點的切平面方程式為_____________。
Ans: 1.14,。與平面相切於點,則
類1. 設球面與平面相切於點, 。。
、、、, 則三角錐之內切球方程式為_______________。
類1.一球面與平面均相切,,。圍成一四面體, 。(87.)
Ans: 1.,2. 。
且,(1)有實數解之充要條件。(2)恰有一實數解的充要條件。,(1)有實數解的充要條件。(2)。(1),(2)。
及一直線 ,(1) 與相切,值為___________。。與相交,則的範圍為______________。,(1)球心到直線的距離為 ,(2)與球面有 個交點。(3)與交於兩點,被所截出的弦長,與交於一點,。及一直線,S與L相切, 。
Ans: 1.(1),(2)2,(3),2.。
與球面相交於二點,則(1)弦的長度為 。 (2)又線段之中點的坐標為 。
類1. 直線與球面交於兩點, 。與球面相交部份為。與圓交於兩點,則之長為?
Ans: 1. ,,2. 。
與兩點的平面,相切,則切點坐標為??,一直線:,L與球S相切之平面方程式。
Ans: 1. 。
及球外一點,由點向球S作切線,則所有的切點形成一個圓,試回答下列各題:(1)點到球S切線長為 。(2)圓所在平面的方程式為 。
類1. 已知從點到球面所作所有切線都會在同一平面上,。(89.)
Ans: 1.。為球面上距離平面π: 最近的一點,1) =__________。(2)與平面π之距離為____________。
類1. 球面上每個點與球面上的每個點之距離中最短者為 。
Ans: 1. 。
,定點,S上的點與A點距離最遠的點及最遠距離。
類1. ,若,求:之極值 。
類2. 設,,上求一點,則當= 時,有最小值為 。
Ans: 1. 最大值100,最小值16,2. 。
且則之最小值 ,此時之 。
類1. 設,,的最小值為 , 。
–9,。
在球上,若之最大為,最小為,則 。
類1. 設,的最大值為 , 。
2. 直線上求一點,使到球面 距離最小,(1)(2) 距離最小值為何?
Ans: 1. 18,0,2.(1),(2)2 。
兩地都在北緯圈上,地在西經,,兩地的球面距離。()
類1. 設地球上兩地,北緯,北緯,兩地的球面距離。()
Ans: 1.。
a、b、c為球面上任一點則的最大值= ,最小值= 。
2.設P (x , y , z )為球面:上的點
(1)試求的最大值 。
(2)試求的最小值 。
3.A(10,2,5)、B(-6,10,11),令S表以為直徑之球面,又 P(x , y , z )為S上一點,求之最大值M及最小值m,則(M , m)= 。
4.設P(4,3,1),且Q為圓 上任一點,則的最小值= ,此時Q點的坐標為 。
5.空間中
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