5.5 对数函数的导数学习目标.PPT

範例 7　求變化率 一群 200 名大學生在他們大一的第一學期都修過西班牙文課，但是之後就沒有再修西班牙文課。在四年的大學生活中，他們每 6 個月接受一次考試，其平均考試成績 p (百分比) 可寫為 p=91.6 － 15.6 ln(t ＋ 1), 0 ≤ t ≤ 48 其中 t 為時間 (月) ，如圖 5.18 所示。試問一年後考試平均成績的變化率為何？ P.5-34 第五章　指數與對數函數 範例 7　求變化率 （續） P.5-34 圖5.18 第五章　指數與對數函數 變化率為 當 t ＝ 12 時 亦即，平均成績是以每月 1.2% 的速率在遞減。 範例 7　求變化率 （解） P.5-34 第五章　指數與對數函數 檢查站 7 假設範例 7 的考試平均成績可寫為 p ＝ 92.3 － 16.9 ln (t ＋ 1)，0 ≤ t ≤ 48，其中 t 為時間 (月)。試問一年後考試平均成績的變化率為何？並與範例 7 的結果做比較。 P.5-34 第五章　指數與對數函數 不同底數 本章一開始首先介紹一般指數函數，也就是定義 f (x) ＝ ax 其中 a 0 且 a ≠ 1。其所對應的以 a 為底的對數 (logarithm to the base a) 可定義為 loga x ＝ b　若且唯若　ab ＝ x 與自然對數函數相同，以 a 為底的對數函數的定義域為所有正數。 P.5-34~5-35 第五章　指數與對數函數 範例 8　求對數值 P.5-35 第五章　指數與對數函數 a. log2 8 = 3 23 = 8 b. log10 100 = 2 102 = 100 c. 1og10 =－1 10－1 = d. 1og3 81 = 4 34 = 81 不用計算機，試求下列各對數值。 a. log2 16 d. 1og5 125 檢查站 8 P.5-35 第五章　指數與對數函數 不同底數 大多數的計算機只有兩個對數按鍵： 一個為自然對數，其符號為 ，另一個則為常用對數，其符號為 。至於不同底數的對數可以換底公式來求值。 P.5-35 第五章　指數與對數函數 範例 9　利用換底公式求對數值 利用換底公式和計算機來求下列對數值。 a. log2 3 b. log3 6 c. log2 (－1) P.5-35 第五章　指數與對數函數 每一題可利用換底公式和計算機來作答。 c. log2 (－1)無定義。 範例 9　利用換底公式求對數值（解） P.5-35 第五章　指數與對數函數 檢查站 9 利用換底公式和計算機來求下列對數值。 a. log2 5 b. log3 18 c. log4 80 d. log16 0.25 P.5-35 第五章　指數與對數函數 不同底數 在計算不以 e 為底數的指數或對數函數的導數時，可以轉換成以 e 為底，或者利用以下的微分法則。 P.5-35 第五章　指數與對數函數 不同底數（證明） 根據定義可得 ax ＝ e(ln a) x，再令 u ＝ (ln a)x，並對以 e 為底的對數微分，即可推導出第一個法則。 P.5-35 第五章　指數與對數函數 以 e 為底的換底公式為 ax ＝ e(ln a)x 和 學習提示 P.5-35 第五章　指數與對數函數 放射性碳同位素的半衰期為 5715 年，若在某物體中的碳同位素為1 公克，則 t 年後的碳同位素數量 A 為 試問在 t ＝ 10,000 年後同位素數量的變化率為何？ 範例 10　求變化率 P.5-36 第五章　指數與對數函數 A 對 t 的導數為 當 t ＝ 10,000 時，該數量的變化率為 也就是在此物體中的碳同位素數量以每年 0.000036 公克的速度衰減。 範例 10　求變化率 （解） P.5-36 第五章　指數與對數函數 總結 (5.5 節) 寫出自然對數函數的導數，參考範例 1、2、3 與 4 。 寫出以 a 為底，自然對數函數的導數，參考範例 10。 P.5-36 第五章　指數與對數函數 歐亞書局 歐亞書局 歐亞書局 歐亞書局 歐亞書局 微積分精華版[第九版] 對數函數的導數 5.5 5.5 對數函數的導數 學習目標 求自然對數函數的導數。 用微積分分析含自然對數函數的函數圖形。 利用對數的定義和換底公式來計算不同底數的對數算式。 求不同底數的指數函數與對數函數的導數。 P.5-31 第五章　指數與對數函數 隱函數的微分技巧可用來計算自然對數函數的導數。 對數函數的導數 P.5-31 第五章　指數與對數函數 對數