8.1 引言(基本求解公式).PPT

华长生制作 四、收敛性与稳定性 (3)改进Euler公式 x y 0 1.0000 0.1 0.9050 0.2 0.8190 0.3 0.7412 0.4 0.6708 0.5 0.6071 使用MATLAB软件 Euler2.m 结果为 0.9050 0.8190 0.7412 0.6708 0.6071 Euler公式 梯形公式 改进Euler公式 结果比较 Euler法的精度不如梯形公式 (三) Simpson求解公式 将Simpson求积公式 代入（11） 简化后,得 ------(16) 由Simpson求积公式的误差 可以近似得到(16)式的截断误差为 仔细分析(16)式 如何求? 求积公式(16)的精度为4阶 考虑将(16)式改为下面的形式 ------(17) ------(18) (17)式称为Simpson求解公式,(18)为相应的截断误差项 (17)式是一个隐式求解公式 这种形式称为多步法,在本课程中将不予介绍 8.2 Runge-Kutta法 考虑改进Euler法 如果将其改成 ----------(1) 改进Euler法是由梯形公式和Euler公式复合而成 梯形公式具有2阶精度 形如(1)式的求解公式称为二阶Runge-Kutta法 同样可以证明,改进Euler法也具有2阶精度 对于Simpson求解公式： 这是隐式多步法 选取适当的显化方法,可得类似(1) 的高阶Runge-Kutta方法 以下使用中值定理进行推导 一、Runge-Kutta方法的导出 对于常微分方程的边值问题 的解 即 ----------(3) 为了同学们课后复习的方便,以下的内容将k写成n. ----------(3) 引入记号 就可得到相应的Runge-Kutta方法 ----------(4) 即(4)式 二、低阶Runge-Kutta方法 如下图 即 则(4)式化为 即Euler方法 Euler方法也称为一阶Runge-Kutta方法 由于 ----(5) (由(5)式) 令 则(4)式化为 -----------(6) 和(1)式一致,即改进Euler公式,也称为二阶Runge-Kutta法 三、高阶Runge-Kutta方法 未知 令 令 参照Simpson求解公式 取 则(4)式化为 -----------(7) (7)式称为三阶Runge-Kutta方法 因此 ----(8) ----(9) 比较(7)(8)两式,可知 因而三阶R-K方法(7)具有3阶精度 类似于(7)式,还可构造四阶(经典)Runge=Kutta方法 -----------(10) 因而方法(10)有4阶精度 * 第八章常微分方程初值问题的数值解法 第八章 常微分方程数值解法 8.1 引言(基本求解公式) 8.2 Runge-Kutta法 8.3 微分方程组和高阶方程解法简介 本章要点： 本章主要研究基于微积分数值解法的常 微分方程数值解，主要方法有 线性单步法中的Euler方法、Simpson方法、 Runge-Kutta方法 高阶微分方程和微分方程组的数值解法 本章应用题: 驱逐舰在浓雾中有哪些信誉好的足球投注网站潜艇，其时发现潜艇在3英里 的海面上，但潜艇立即下潜，驱逐舰速度两倍于潜 艇，且已知潜艇下潜后即以全速朝某一未知方向直 线前进，问驱逐舰应采取什么路线才能保证它会开 过潜艇的上方以投放深水炸弹？ 提示 取极坐标，并以发现潜艇时潜艇的位置为原点 ———反潜 8.1 引言(基本求解公式) 在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程 只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解 而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解 在高等数学中我们见过以下常微分方程： -----------(1) -----------(2) -----------(3) (1),(2)式称为初值问题,(3)式称为边值问题 -----------(4) 另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组: 本课程主要研究问题(1)的数值解法,对(2)~(4)只作简单介绍 我们首先介绍初值问题(1)的解存在的条件 定理1. 对于问题(1),要求它的数值解 -----------(1) 从(1)的表达式 可以看出,求它的数值解的关键在于 而数值微分或数值积分问题我们都已经学习过 一、基于数值微分的常微分方程数值解法 -----------(1) 对