7.数的进位制.doc

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7.数的进位制

32.数的进位制 数的进位制,是数的基本知识之一,也是进行数学运算的基础。 随着人类对数的认识的不断深入,产生了各种不同的进位制记数法。 (1)进位制的基本原理 我们知道一个十进制正整数N总可以写成N=an×10n+an-1×10n-1+…+a1×10+a0的形式,其中,an,an-1,…,a1,a0都只能取0至9中的数,且an≠0.例如:365=3×102+6×10+5. 一般来说,如果采用J进位制,就在下角处注J.例如270(J)表示270是在J进位制中的数。在J进位制中,一定有: ①它有J个不同的数字符号,即:0,1,2,3,4,…,(J-1). ②它是“逢J进一”,即每位计满J后向高位进一, 例如27089(J)=2×J4+7×J3+0×J2+3×J+9×J0. 一个J进位制的正整数就是各位数码与J的方幂的乘积的和,其中幂指数等于相差数码所在位数(从右往左数)减1. 如果J=8,那么在八进位制里,一定有 (1)基数是8,一共有0,1,2,3,4,5,6,7这八个不同的数码。 (2)它是“逢八进一”比如7+1=10. 八进制的数转化为十进制的数由下面的算式给出: 327(8)=3×82+2×81+7×80=215(10). 如果J=16,那么一共有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,13,C,D,E,F这十六个不同的数码。 它是“逢十六进一”比如F+1=10. 十六进制数转化为十进制数可由下列算式给出: 327(16)=3×162+2×161+7×160=807(10). (2)进位制数之间的转换 (Ⅰ)其它进位制数转换为十进位制数 例1 把二进位制数1011001(2)和111.101(2)转换成十进位制数。 解:1011001(2)=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22 +0×21+1×20=64+16+8+1=89(10). 111.101(2)=1×22+1×21+1×20+1×2-1+0×2-2 +1×2-3=4+2+1+0.5+0.125=7.625(10). 例2 把下列各数转换成十进位制数 (1)21012(3),(2)53702(8),(3)7215(12) 解:(1)21012(3)=2×34+1×33+0×32+1×31 +2×30=2×81+27+3+2=162+27 +3+2=194(10). (2)53702(8)=5×84+3×83+7×82+0×81+2×80 =5×4096+3×512+7×64+2 =20480+1536+448+2=22466(10). (3)7215(12)=7×123+2×122+1×121+5×120 =12096+288+12+5=12401(10). 例3 在什么进位制里,十进位制数71记为47? 解:设这种进位制的基数为J,把47按基数的幂的形式展开有: 47(J)=4×J1+7×J0=4J+7 根据转换原理,展开后的式子应等于相应的十进位制数,即 4J+7=71,解得J=16. 即在十六进位制里,十进位制数71记为47. 例4 若6×6=44,则在这种进位制里的数76应记为十进位制的什么数? 解:设J为这种进位制的基数,把44按其基数的幂的形式展开,有 44(J)=4×J1+4×J0=4J+4. 由于 6×6在十进位制里等于36,根据转换原理,有 4J+4=36.解得J=8. 即6×6=44是在八进位制内的运算。因此 76(8)=7×81+6×80=56+6=62(10). (Ⅱ)十进位制数转换为其他进位制数 例1 把十进位制数215转换成二进位制数。 解法1(方幂法) ∵128<215<256,215=128+87=27+87, 又 64<87<128, 87=64+23=26+23. 16<23<32, 23=16+7=24+7, 4<7<8 7=4+3=22+3, 2<3<4, 3=2+1=21+1. ∴215(10)=128+64+16+4+2+1 =27+26+24+22+21+20 2). 解法2 (取余法) 所以215(10)2). 例2 把十进位制数532转换成三进位制数。 解法1(方幂法) 532(10)=486+27+18+1 =2×243+27+2×9+1 =2×35+1×33+2×32+1×30 =2×35+0×34+1×33+2×32+0×31+1×30 =201201(3). 解法2(取余法) 所以532(10)=201201(3). (3)数位制的应用问题 例1 现有1克,2克,4克,8克,16克的砝码各1枚,问在天平上能称多少种不同重量的物体? 解:因为砝码的克数恰好是1,2,4,8,16,而二进位制数从右往左数各位数字分别表示:1,2,

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