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第十讲 广义线性模型 方差分析模型 广义线性模型 一 方差分析模型 概述 单因素方差分析模型 多因素方差分析模型 交互效应模型 用编程做方差分析 图示分析 拟合方差分析模型 生成诊断图 拟合交互效应模型 用菜单功能做方差分析 图示分析 拟合方差分析模型 生成诊断图 拟合交互效应模型 1.1 概述 方差分析是进行多个正态总体均值比较最常用的一种统计方法。按影响因素的多少，方差分析模型可分为单因素方差分析模型和多因素方差分析模型 。 单因素方差分析模型 例如某家钢铁公司采用a种不同的工艺加工钢材，现从第i种工艺生产的钢材中随机选出ni件样品，i=1,…,a。测得j样品的质量指标为有Yij，j=1,…, ni。我们希望用得到的数据来比较这些工艺的优劣。 这是一个典型的方差分析问题。统计上把影响质量指标的工艺称为因素（因子,factor)，每种工艺条件为一个水平(level)。不同水平下得到的样本看成来自不同的总体。希望由此对不同水平下的各个总体的均值进行比较。对此，观测到的Yij常用以下的模型来表示： 单因素方差分析模型概述 其中 表示第i种水平下产量的均值， 为各水平下均值的平均值， 称为各水平的效应（效应的总和为0）； 为包含所有其它因素的的随机误差。如果把工艺条件因素以外的其它因素（原材料，操作人员，生产环境等等）都尽可能控制在同一条件下，且每次试验都独立进行，则不同水平下的总体都可近似看成独立且服从正态分布。因此，在方差分析中我们通常假定 相互独立且有相同的 分布。比较不同水平下均值是否相同的问题就归为检验如下的假设： 不全相等。 在上述模型中，观测到的数据{Yij}的均值受一个因素不同水平的影响，即 依赖于水平 。 这类问题称为单因素方差分析问题 多因素方差分析模型概述 实际中影响总体均值的重要因素不止一个。例如用a种测定方法来测定b种食品的放射性同位素的含量。假定在每种食品中都随机地抽出a×n个样品，再随机地分配于不同的测定方法中，使得每种方法都测定同一种食品的n个样品。用Yijk表示第i种测定方法测定的第j种食品的第k个样品的放射性同位素含量，i=1,…, a，j=1,…, b，k=1,…, n.。试验的目的是分析不同的食品和方法是否对含量的测定值有显著影响。 在上述问题中，包含有两个因素：一是测定方法，记为因素A，有a个水平；二是食品种类，记为因素B，有b个水平。类似于单因素方差分析问题的讨论，对Yijk考虑如下的模型： 其中 表示各因素的平均效应， 表示第一个因素A第 i 个水平的附加效应， 表示第二个因素B第 j 个水平的附加效应， 为随机的误差,通常假定为独立具有相同正态分布,该模型就称为两因素方差分析模型. 多因素方差分析模型概述（续） 为避免模型参数 ， 和 取值上的随意性，还附加如下限制， 对上述模型，要说明因素A无显著性影响，就是检验如下的假设: 不全相等。 要说明因素B无显著影响，就是检验如下的假设， 不全相等。 而模型无显著性效果是指上述两个原假设同时成立。 交互效应模型概述 在多个因素的问题中，例如要考察添加剂和工艺条件对产品产量的影响，不同的添加剂往往会要求不同的工艺条件，在一种工艺条件下有效的添加剂，在另一种工艺条件下可能是完全无效的。在这种情况下，两因素对产量的影响不再是两者附加效果的简单叠加，而是两因素之间有着交互影响。我们称这种现象为“两个因素存在交互作用”。 对于存在交互作用的观测 ，我们采用下面的方差分析模型， 其中 表示平均的效应， 与前面的模型有着相同的含义， 表示因素A的第i个水平和因素B的第j个水平交互作用的附加效应。这里我们也假定 是独立的且服从相同的正态分布 。 交互效应模型概述（续） 为避免模型参数取值的任意性，模型中还常附加如下限制， 该模型称为交互效应模型。 对于上述交互效应模型，我们不仅可以检验单一因素A或B的各个水平之间是否有显著差异，也可以检验因素A与B之间有无明显的交互影响，既检验如下的假设，