一个使用运算矩阵之新奇分数微积分数值方法ANovelNumerical.PDF

一個使用運算矩陣之新奇分數微積分數值方法 A Novel Numerical Method for Solving Fractional Calculus via Operational Matrices 吳俊霖 jlwu@cs.nchu.edu.tw 國立中興大學 資訊科學系 摘要 分數微積分（fractional calculus ）就是把一般所熟知的微分與積分運算推 廣到任意非整數次方，而含有分數（ fractional ）微分或積分運算子，像是 1 1 1 1 − − d 2 dt 2 和 d 2 dt 2 ，的微分方程則稱之為分數微分方程式（fractional differential equation ）。它們在科學及工程上有很多的應用，例如利用分數微 積分可以建立許多自然科學系 統的模型，而分數微分方程在擴散模型、電磁 學、控制等領域中也都有相當好的成功應用。但是通常它們只在某些限制條 件下才有解析解，而且也很難以一般的數值方法來求解。 α () 我們通常以a Dt f t 來表示一個任意實數α次方的微分運算，其中下標 a稱為該分數微分的端點（ terminal ），也就是在t a之分數微分。運算矩陣 （operational matrix ）的觀念被廣泛地應用在許多領域，像是解微分方程、系 統參數鑑別，以及求解線性系統的最佳化等。運算矩陣的主要特性是其可以 將微分方程式轉換為代數（algebra ）的形式，如此不但可以簡化問題而且可 以加快計算的速度。然而傳統所用的正交函數或正交多項式之運算矩陣都是 以0 為起點，所以只能求解端點 a 0之分數微積分或分數微分方程。本論文 推導出一類新的正交函數運算矩陣來克服此一限制，使其能計算端點不為 0 α () 的分數微積分， a Dt f t ，之數值解及相關之分數微分方程。實驗結果顯示 所提方法比其他傳統方法簡單而且具電腦計算導向（ computer-oriented ）。 關鍵詞 ：分數微積分，分數微分方程式，運算矩陣，正交函數 1 Abstract Fractional calculus is a branch of mathematics that deals with generalization of well-known operations of differential and integration to arbitrary non-integer order – which can be non-integer real or even imaginary numbers. And a 1 1 differential equation involving the fractional calculus operators such as d 2 dt 2 1 1 − − and d 2 dt 2 is called the fractional dif