1993考研数二真题与解析.doc

1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) ＿＿＿＿＿＿.(2) 函数由方程所确定,则＿＿＿＿＿＿.(3) 设,则函数的单调减少区间是＿＿＿＿＿＿.(4) ＿＿＿＿＿＿.(5) 已知曲线过点,且其上任一点处的切线斜率为,则＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 当时,变量是 ( )(A) 无穷小 (B) 无穷大(C) 有界的,但不是无穷小 (D) 有界的,但不是无穷大(2) 设 则在点处函数 ( )(A) 不连续 (B) 连续,但不可导(C) 可导,但导数不连续 (D) 可导,且导数连续(3) 已知 设,则为 ( )(A) (B) (C) (D) (4) 设常数,函数在内零点个数为 ( )(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0(5) 若,在内,则在内 ( )(A) (B) (C) (D) 三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.) (1) 设,其中具有二阶导数,求.(2) 求.(3) 求.(4) 求.(5) 求微分方程满足初始条件的特解.四、(本题满分9分)设二阶常系数线性微分方程的一个特解为,试确定常数,并求该方程的通解.五、(本题满分9分)设平面图形由与所确定,求图形绕直线旋转一周所得旋转体的体积.六、(本题满分9分)作半径为的球的外切正圆锥,问此圆锥的高为何值时,其体积最小,并求出该最小值.七、(本题满分6分)设,常数,证明.八、(本题满分6分)设在上连续,且,证明：,其中.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】【解析】这是个型未定式,可将其等价变换成型,从而利用洛必达法则进行求解..(2)【答案】【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数,将方程两边对求导,得,化简得 .【相关知识点】复合函数求导法则：如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为 或 . (3)【答案】【解析】由连续可导函数的导数与的关系判别函数的单调性.将函数两边对求导,得 .若函数严格单调减少,则,即.所以函数单调减少区间为.【相关知识点】函数的单调性：设函数在上连续,在内可导.如果在内,那么函数在上单调增加；如果在内,那么函数在上单调减少.(4)【答案】【解析】 .(5)【答案】【解析】这是微分方程的简单应用.由题知 ,分离变量得 ,两边对积分有.由分部积分法得 因为曲线过点,故,所以所求曲线为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】因为当时,是振荡函数,所以可用反证法.若取 ,则,,则.因此,当时,有及,但变量或等于0或趋于,这表明当时它是无界的,但不是无穷大量,即(D)选项正确.(2)【答案】(A)【解析】利用函数连续定义判定,即如果函数在处连续,则有.由题可知,.因在处左右极限不相等,故在处不连续,因此选(A).(3)【答案】(D)【解析】这是分段函数求定积分.当时,,故,所以.当时,故,所以.应选(D).(4)【答案】(B)【解析】判定函数零点的个数等价于判定函数与的交点个数.对函数两边对求导,得 .令,解得唯一驻点,即 所以是极大值点,也是最大值点,最大值为.又因为 ,由连续函数的介值定理知在与各有且仅有一个零点(不相同).故函数在内零点个数为2,选项(B)正确.(5)【答案】(C)【解析】方法一：由几何图形判断.由知为奇函数,图形关于原点对称；在内图形单调增加且向上凹,根据图可以看出在内增加而凸,,选(C).方法二：用代数法证明.对恒等式两边求导,得.当时,有,所以,故应选(C).三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.) (1)【解析】,