一阶微分方程组初值问题的数值解法一阶微分方程初值问.PDF

§6 方程组及高阶方程的数值解法 一、 一阶微分方程组初值问题的数值解法 一阶微分方程初值问题的数值解法的平行 推广 二、 高阶微分方程初值问题的数值解法 转换为一阶微分方程组的初值问题 §7 二阶常微分方程边值问题的数值解法 一、边值问题 ′′ ′ y f (x, y , y ),x ∈[a,b] (7.7.1) 边值条件（三类）： （1） 第一边值条件 y (a ) α, y (b) β （2 ） 第二边值条件 ′ ′ y (a ) α, y (b) β （3 ） 第三边值条件 ′ y (a ) −α y (a) α ⎧ 0 1 ⎨ ′ y (b ) −β0y (b) β1 ⎩ 其中α ≥0, β ≥0,α +β 0 0 0 0 0 微分方程(7.7.1)配上第一、第二、第三边值条件 后，分别称为第一、第二、第三边值问题。 二、 差分解法 以差商代替导数，把微分方程离散化为一个 差分方程组，然后求解此差分方程组，得到边值 问题的近似数值解。 考虑二阶线性常微分方程 y ′′+p (x )y ′+q(x )y f (x ), x ∈[a,b] (7.7.2) 1．首先将区间[a,b] n 等分，将在[a,b] 上求解 y (x ) 的问题化为在节点 xi x0 =+ih (x0 a, xn b,i 0,1, , n) 上求y (x ) 的近似值问题。 i x 2 ．将(7.7.2)在节点 上离散化，分别用一阶 i 和二阶差商近似代替一阶和二阶导数 ′ y (x ) ≈[y (x ) −y (x )]/ 2h ⎧⎪ i i+1 i−1 ⎨ ′′ 2 y (x ) ≈[y (x ) −2y (x ) +y (x )]/ h ⎪⎩ i i+1 i i−1 ，得到一个差分方程组 y i+1 −2y i +y i−1 y i+1 −y i−1 +p +q y f (i 1, 2, , n −1) h2 i 2h i i i (7.7.3) 这里y y (x ), p p (x ), q q(x ), f f (x ) i i i i i i i i 3