不确定性量化的高精度数值方法和理论 - HKBU MATH - Hkbu.edu.hk.PDF

中国科学: 数学评审中稿件 不确定性量化的高精度数值方法和理论 汤涛 周涛 香港浸会大学数学系, 香港 中科院数学与系统科学研究院, 北京100190 E-mail: ttang@.hk，tzhou@ 本文为《中国科学》庆贺林群院士 80 华诞专辑撰写 摘要 不确定性量化（Uncertainty Quantification, UQ ）是近年来国际上热门的研究课题，其应用领 域包括水文学、流体力学、数据同化、天气预测等等。由于UQ 问题中的大量随机参数引起的超大计 算量，如何设计高效的高精度数值方法变得非常重要，与其相关的计算技术和数学理论也引起人们的 高度重视。本文将综述不确定性量化研究中的高精度数值方法和必威体育精装版进展。我们主要讨论基于正交多 项式的逼近方法，其中包括正交多项式Galerkin 投影方法和随机配置方法。本文将侧重基于样本（数 据）信息的随机配置方法，包括随机抽样，确定性抽样和结构随机样本。我们将重点介绍离散投影算 法和压缩感知算法，并介绍相关数值分析进展，即如何确定样本的使用数量M 与逼近空间基函数的 自由度N 的对应关系，以保证算法的稳定性和最优收敛性质。我们还将介绍高维空间中基于任意数 量和任意位置节点的插值算法，以及一个相关的研究课题，即正倒向随机微分方程数值方法。最后， 我们尝试探讨不确定性量化研究面临的挑战和亟待解决的研究问题。 关键词 不确定性量化，多项式逼近，随机配置方法，离散L 投影，压缩感知，正倒向随机微分方程 主题分类 41A10, 60H35, 65C30, 65C50 引言 不确定性量化（UQ ）研究的是什么？首先，现实世界中许多实际问题的数学模型背后存在很大的 不确定性，这些不确定性可能来自于问题中的参数、实验测量值、几何区域的复杂性等等。那么，如 何通过量化这些不确定因素，以减少不确定性带来的风险，即是不确定性量化研究的主要目的。 近几年，对带有不确定性的实际问题的建模与数值模拟受到了空前的关注，也就是人们常说的不 确定性量化（Uncertainty Quantification ，UQ ）。UQ 正是为了处理模型背后的不确定性。UQ 方法可 以分为概率框架和非概率框架，本文将主要探讨在概率框架下的建模及计算方法。概率论框架为处理 不确定性因素的提供了良好的工具。通过使用概率论的工具，可以将大部分的不确定性建模成随机变 量（或随机函数），于是，问题归结为如何求解所得到的随机问题。UQ 研究的一个核心问题是如何处 理由于随机输入带来的高维逼近。对于实际应用问题，比如油藏模拟，天气预测，数据同化，流体动 力学，我们通常需要处理30-50 维，甚至上百维的随机参数。因此，设计快速有效的不确定性量化方 法变得十分迫切。 UQ 研究在欧美得到了很大的重视和发展，吸引了大量的应用数学家的关注，UQ 数值方法也得 到了很大的发展。至今，UQ 已经在美国成为最重要的应用数学研究方向之一。美国能源部，空军， 英文引用格式 Tao Tang, Tao Zhou. Recent developments in high order numerical methods for uncertainty quantification. Sci Sin Math, 2015 汤涛等: 不确定性量化的高精度数值方法和理论 国家实验室都设立专项经费，支持UQ 方法的研究。2012年，美国工业与应用数学学会（SIAM）开始 组织UQ 年会（SIAM Conference on UQ ），两年举办一次，前两届会议每次都有500 余人参会。2013 年SIAM 和美国数理统计协会（ASA ）创立联合期刊（SIAM/ASA Journal on UQ），专门发表UQ 领 域的前沿研究成果。 随着UQ 研究的深入，对于随机数学模型的计算方法研究有了跨越性的发展，我们这里简单介绍 其中的一部分： 蒙特卡洛方法（ ）。蒙特卡洛方法及其改进方法 [1] 是简单常用的基于 样本的方法。在蒙特卡洛方法中，我们利用概率分布随机的产生一些样本，对每一个样本而言，所要 解决的问题变成了一个确定的问题。通过求解这些确定问题，可以得到精确解的一些统计量信息，比 如均值或者方差。蒙特卡洛方法实施简单，可以利用现成的程序，利于并行计算。但众所周知，蒙特卡