双摆振动模式之演示.PDF

雙擺振動模式之演示 周鑑恒 圖一為雙擺(double pendulum)之示意圖，其 的另一端打一小孔。另外一枝木桿的一端也鑽 中上方擺錘為下方擺錘的懸掛點。雙擺大角度 一孔，另一端也黏上兩小銅塊，即製成下擺。 擺動時，須考慮其運動方程式中之非線性項， 取截斷多餘長度的縫衣針，穿過上擺上方小孔 雙擺運動出現混沌系統運動之特徵 【註1】 。 和音叉狀木架上之小孔，以便懸掛整個雙擺； 忽略桿重，小角度擺動的雙擺，則為運 再以另一截成適當長度之縫衣針，穿過下擺上 用拉格朗日方程式(Lagrange equations)和解釋 方小孔和上擺銅塊小孔，以便懸吊下擺。只要 簡正振動模態(normal modes)的絕佳範例，一 製作之精密度不太差，因木架叉狀間隙略大於 方面，數學計算扼要完整，另一方面，此振 木桿寬度，兩銅塊下半部內側亦被磨除，上下 動系統可以消除簡正振動模態只出現在特定 兩擺均不致於摩擦到木架或銅塊，而能以縫衣 振動系統之錯覺，有利於學生歸納相關之理 針為軸承，幾乎無拘地擺動。至於兩稀土強磁 論，故雙擺幾乎成為力學教科書必提及的課 則直接黏在上擺銅塊上；另外再將漆包線整齊 文內容或例題 【註2】 。因目前市面上並沒有 纏在軟鐵心上，製成電磁鐵。以電磁鐵和稀土 適當的演示教具，本文設計如圖二之雙擺模 強磁之作用力驅動此雙擺。 型，目的在以實物對照、講解有關耦合運動 如圖一(見封底)所示雙擺系統之總動能 和簡正振動模態等極重要的力學理論，清楚 為： 演示雙擺之簡正振動模態，提供教師自製此 教具之方法和經驗，補充教材內容，使學生 其中： ， ，若為小角度 可以將實驗和理論計算相互印證。 擺動， ， ，則總動 3 所需之材料：8.54.5145 mm之木桿兩 能可寫為： 3 枝和若干作為支架的木條、 6 1230 mm之 (2) 2 3 小銅塊四塊、縫衣針兩枚、 5 5 mm的圓 其總位能為： 柱狀稀土強磁兩顆、軟鐵心、漆包線 90m。 (3) 製程參見圖二(a)(b)(見封底)：取適當之 若 為 小 角 度 擺 動 ， ， 木條製成音叉狀之木架，並鑽兩小孔貫穿其叉 ，則總位能可寫為： 狀部分。其次，先製作上方之擺，用砂輪磨掉 兩小銅塊下半部之內側(各磨掉約 1-2mm)，以 此系統之拉格朗日函數(Lagragian)為 AB 膠將兩小銅塊之上半部牢牢黏在木桿之一 (5) 端，再貫穿兩小銅塊下半部鑽一孔，並將木桿 代入拉格朗日方程式 －46 － 雙擺振動模式之演示 細調整訊號產生器之頻率，使之與雙擺簡正