变异函数变异函数的概念变异函数.PPT

地统计学 （第五讲） 常见半方差模型 应用实例 克立格插值方法 1、协方差函数 协方差函数的概念 区域化随机变量之间的差异，可以用空间协方差来表示。 区域化变量 在空间点x和x+h处的两个随机变量和的二阶混合中心矩定义为Z(x)的自协方差函数，即 协方差函数的计算公式 协方差函数的计算公式为： 式中：h为两样本点空间分隔距离或距离滞后， 为 在空间位置 处的实测值， 是 在 处距离偏离h的实测值[i= 1，2，…， ]， 是分隔距离为h时的样本点对（Paris）总数， 和 分别为 和 的样本平均数。 若 = = m（常数），则上式可以改写为： 式中：m为样本平均数，可由一般算术平均数公式求得，即： 变异函数 变异函数的概念 变异函数（Variograms），又称变差函数、变异矩，是地统计分析所特有的基本工具。 在一维条件下变异函数定义为，当空间点x在一维x轴上变化时，区域化变量Z(x)在点x和x+h处的值Z(x)与Z(x+h)差的方差的一半为区域化变量Z(x)在x轴方向上的变异函数，记为γ(h)，即 在二阶平稳假设条件下，对任意的h有 因此，公式可以改写为 从上式可知，变异函数依赖于两个自变量x和h，当变异函数 仅仅依赖于距离h而与位置x无关时， 可改写成 ，即： 变异函数的性质 设Z(x)是区域化变量，在满足二阶平稳假设条件下，变异函数式具有如下性质： (1) =0，即在h=0处，变异函数为0； (2) = ，即 关于直线h=0是对称的，它是一个偶函数； (3) ≥0，即 只能大于或等于0； 变异函数的计算公式 设 是系统某属性Z在空间位置x处的值， 为一区域化随机变量，并满足二阶平稳假设，h为两样本点空间分隔距离， 和 分别是区域化变量 在空间位置 和 处的实测值[i=1,2,…,N(h)]，那么，变异函数 的离散计算公式为 这样对不同的空间分隔距离h，计算出相应的 和 值。如果分别以h为横坐标， 或 为纵坐标，画出协方差函数和变异函数曲线图，就可以直接展示区域化变量Z(x)的空间变异特点。可见，变异函数能同时描述区域化变量的随机性和结构性，从而在数学上对区域化变量进行严格分析，是空间变异规律分析和空间结构分析的有效工具。 实例1，假设某地区降水量Z(x)（单位：mm）是二维区域化随机变量，满足二阶平稳假设，其观测值的空间正方形网格数据如图4.2.1所示（点与点之间的距离为h=1km）。试计算其南北方向及西北和东南方向的变异函数。 图4.2.1 空间正方形网格数据（点间距h=1km） 从图4.2.1可以看出，空间上有些点，由于某种原因没有采集到。如果没有缺失值，可直接对正方形网格数据结构计算变异函数；在有缺失值的情况下，也可以计算变异函数。只要“跳过”缺失点位置即可（见图4.2.2）。 图4.2.2 缺失值情况下样本数对的组成和计算过程，☉为缺失值 首先计算南北方向上的变异函数值，由变异函数的计算公式可得： =385/72=5.35 变异函数的参数 变异函数有四个非常重要的参数，即基台值（Sill）、变程（Range）或称空间依赖范围（Range of Spatial Dependence）、块金值（Nugget）或称区域不连续性值（Localized Discontinuity）和分维数（Fractal Dimension）。 前3个参数可以直接从变异函数图中得到。它们决定变异函数的形状与结构。 变异函数的形状反映自然现象空间分布结构或空间相关的类型，同时还能给出这种空间相关的范围。 当变异函数随着间隔距离h的增大，从非零值达到一个相对稳定的常数时，该常数称为基台值C0+C， 当间隔距离h=0时，γ(0)= C0，该值称为块金值或块金方差（Nugget Variance）。 基台值是系统或系统属性中最大的变异，变异函数达到基台值时的间隔距离a称为变程。变程表示在h≥a以后，区域化变量Z(x)空间相关性消失。 块金值表示区域化变量在小于抽样尺度时非连续变异，由区域化变量的属性或测量误差决定。 上述三个参数可从变异函数曲线图直接得到，或通过估计曲线回归参数得到。 第4个参数，即分维数用于表示变异函数的特性，由变异函数 和间隔距离h之间的关系确定： 分维数D为双对数直线回归方程中的斜率