叶彦谦，常微分方程讲义.ppt

例2 镭的衰变规律: 解: 即镭元素的存量是指数规律衰减的. 将某物体放置于空气中, 在时刻 时, 测得它的温度为 10分钟后测量得温度为 试决定此物 体的温度 和时间 的关系. 例3 物理冷却过程的数学模型 Newton 冷却定律: 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导; 2. 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比. 设物体在时刻 的温度为 根据导数的物理意义, 则 温度的变化速度为 由Newton冷却定律, 得到 其中 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型. 注意:此式子并不是直接给出 和 之间的函数关系,而只是给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式子求得 与 之间的关系式, 以后再介绍. 解: 例4 R-L-C电路 如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系. 电路的Kirchhoff第二定律: 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 其中Q为电量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到 因为 于是得到 这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式. 解: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零. 例5 一个半径为Rcm的半球形容器内开始时盛满了水，但由于其底部一个面积为Scm2的小孔在t=0时刻被打开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共需要多少时间？ 解: 以容器的底部O点为 原点，取坐标系如图3.3所示。令h(t)为t时刻容器中水的高度，现建立h(t)满足的微分方程。 设水从小孔流出的速度为v(t)，由力学定律，在不计水的内部磨擦力和表面张力的假定下，有： 因体积守衡，又可得： 易见： 故有： R x y S O 图3-3 h r 这是可分离变量的一阶微分方程，得 即： 例6 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。 从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsinθ，根据牛顿第二定律可得： 这是理想单摆应满足的运动方程 M Q P mg 图3-1 （3.1）的近似方程 从而得出两阶微分方程： （3.1） （3.1）是一个两阶非线性方程，不易求解。当θ很小时，sinθ≈θ，此时，可考察（3.1）的近似线性方程： （3.2） （3.2）的解为: θ(t)= θ0cosωt 当 时,θ(t)=0 故有 由此即可得出 其中 例7 传染病模型: 长期以来,建立传染病的数学 模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专 家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的 试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的 方法建立模型. 解: 根据题设,每个病人每天可使 由于病人总人数为 所以每天共有 于是病人增加率为 思考与练习 1.曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形 的面积都等于常数 ,求该曲线所满足的微分方程. 解: 由题目条件有: 2. 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线所满足的微分方程. 解: 设所求的曲线方程为 由导数的几何意义, 应有 即 又由条件: 曲线过(1,3), 即 于是得 故所求的曲线方程为: 任课老师：戴滨林 上海交通大学博士 复旦大学博士后 副教授 硕士导师 戴滨林E-mail：bldai@ 办公室：数学系404 办公室电话常微分方程 Ordinary differential equation 王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松编 （第三版） 电子课件 常微分方程 Ordinary differential equation 第一章 绪 论 第二章 一阶微分方程的初等解法 第三章 一阶微分方程的解的存在定理 第四章 高阶微分方程 第五章 线性微分方程组 第六章 非线性微分方程定性理论初步 第七章 一阶线性偏微分方程 常微分方程课程简介 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现