几何与函数综合问题.doc

专题一：几何与函数综合问题 主讲：卓普明 函数是初等数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初等数学体系之中，也是实际生活中数学建模的重要工具之一. 二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，也是初中数学教学的重点和难点之一，更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础. 在历年的中考题中，二次函数都是不可缺少的内容. 二次函数的概念问题，如何确定函数的解析式，二次函数与一元一次方程、不等式等知识的联系以及二次函数在实际生活中的应用等等, 这些题型在解决中比较基础. 在解决问题中往往会被一些几何综合题难住，涉及的知识很多，方法很多，有时候很困扰. 本次课就一些函数综合题进行分类和探讨，试图通过将一些与函数和几何问题有关的题型归类，并且通过分析试题，找出一些解决问题的方法. 一、在二次函数中求面积以及最值 例1 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程的两根． （1）求抛物线的解析式 （2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD． ①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标； ②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标． （1）首先解方程得出A，B两点的坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）①首先求出AB的直线解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP时，当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，当OC=PC时分别求出x的值即可； ②利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出关于x的二次函数，进而得出最值即可．解（1）抛物线的解析式为． （2）①设直线AB的解析式为．C点坐标为（0，）． OPC为等腰三角形，OC=OP或OP=PC或OC=PC．设P（，）， （i）当OC=OP时，P1（，）． （ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，P2（，）． （iii）当OC=PC时，P3（，）． P点坐标为P1（，）或P2（，﹣）或P3（，）． ②过点D作DGx轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BHx轴，垂足为H． 设Q（，），D（）．S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQ?OG+DQ?GH=DQ（OG+GH） ==， 0＜x＜3， 当时，S取得最大值为，此时D（，﹣）． 的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点C其中A（-3, 0）、C（0，-2）. （1）求这条抛物线的函数表达式． （2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标． （3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作交轴于点连接PD、PE．设CD的长为，的面积为．求与之间的函数关系式．试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 二、二次函数与几何形状 例2 如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． （1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式. （2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值. （3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． 解答：（1）令y=0，解得或，∴A（-1，0）B（3，0）； 将C点的横坐标x=2代入得y=-3，∴C（2，-3） ∴直线AC的函数解析式是y=-x-1 （2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），坐标分别为：P（x，-x-1），E（ ∵P点在E点的上方，PE= ∴当时，PE的最大值为. （3）存在4个这样的点F，分别是. 巩固练习 如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线经过O，D，C三点． （1）求AD的长及抛物线的解析式 （2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？ （3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由． 的抛物线经过点A（6，0）和B（