四 无理不等式的解法.PPT

不等式的解法 ─ ─ 複習課 * * a(x-b)(x-c)(x-d)0 b c d 一. 一元二次不等式的解法 例1. 解不等式 Ⅰ. 降次, 化為不等式組. 解: 原不等式可化為 所以有 由1可得, 由2可得, 所以原不等式的解為 Ⅱ. 圖像解法. 解: 如下圖, 畫出函數 的簡圖. 由圖像可以直觀地看出, 原不等式的解為 x-1, 或 x3. Ⅲ. 序軸標根法. 由圖像解法知, 要得到不等式的解並不需要精確地繪出函數圖像, 祇要確定函數與x軸的交點, 也即與不等式對應的方程的根, 與及函數的開口方向. 因此, 我們可以把圖像作進一步的簡化和抽象. -1 3 -1 3 在 “序軸標根法”中, 我們作了如下的簡化: 由於不等式的解祇與函數值 y 是大於零還是小於零有關, 並不關心 y 的精確值, 因此我們把 y 軸省略了, 只保留 x 軸. 軸標 “x” 也是可以省略的, 甚至可以把原點也略去. 但是數軸的正方向必須保留, 以保證實數的有序性, 事實上, 研究不等式的基礎正是實數的有序性! 因此, 與不等式對應的方程的根必須從小到大, 從左到右(依正方向的方向)標出. 考慮到解答的方便, 我們約定把與不等式對應的函數標準化, 即把函數的最高次數項的係數通過乘法法則, 化為大於零, 這樣保證了f(∞)0, 因此, 可以從右上方 “穿針引線”(因為點 (x,y) (這裡x為∞, y大於零)在右上方 . 二. 一元高次不等式的解法 一元高次不等式的解法, 也可以用降次的方法來解, 還可以用 “列表法” 來解, 這些方法一般比較繁瑣. 下面我們舉個例子從 “圖像法” 過度到 “序軸標根法”. 註: 一般地, 我們把最高次數大於二次的一元代數不等式稱為一元高次不等式. 例2. 解不等式 解: (圖像法) 由圖像可直觀得到原不等式的解為 x-4, 或 -3x1, 或 x2. 其中-4,-3,1,2是與原不等式對應的方程的根. 同樣地, 我們把圖像法簡化成 “序軸標根法” : - 4 - 3 1 2 解: 原不等式可化為 - 4 - 3 1 2 所以原不等式的解為 x-4, 或 -3x1, 或 x2. 小結: “序軸標根” 用於解一元高次不等式非常方便, 其解題步驟如下: 1. 分解因式, 化成標準形式; 2. 作等價變形, 處理如 因式, 這些因式的共同點是無論 x 取何值, 式子的代數值均大於零; 3. 由小到大, 從左到右標出與不等式對應的方程的根; 4. 從右上角起, “穿針引線”; 5. 重根的處理, 依 “奇穿偶不穿” 原則; 6. 畫出解集的示意區域, 從左到右寫出解集. 練習1: 解下列高次不等式 解: 原不等式可化為 -1 0 1 2 所以原不等式的解為 三. 分式不等式的解法 一般將分式不等式化為整式不等式, 但須注意定義域. 例3. 解不等式 解: 原不等式可以化為 2 3 4 6 且 , 且 所以原不等式的解為 四. 無理不等式的解法 解無理不等式, 關鍵是去根號, 把無理不等式轉化為有理不等式去解. 解題步驟是: 1. 討論定義域, 理解定義與解集的關係; 2. 兩邊平方時, 須確保兩邊非負, 因此要分類處理; 3. 化成有理不等式後, 解集與分類的數集是交的關係; 4. 把分類的結果與定義域交, 得出原不等式的解集. 一般畫數軸來處理解集的交並關係. 例4. 解不等式 時, 不等式兩邊平方得 解: 原不等式的定義域為 1. 當 時, 不等式成立, 即 2. 當 即 5 8 所以原不等式的解為 -2 五. 指對數不等式的解法 例5. 解不等式 解: 原不等式可化為 所以原不等式的解為 一般用同底法, 解指對數不等式. 先轉化成同底, 再根據指數, 對數函數的單調性轉化成代數不等式. 例6. 已知 , 解不等式 解: 定義域為 1. 當 時, 有 2. 當 時, 有 原不等式可化為 因此, 因此, *