线性代数复习资料2013.6.4.ppt

第一章 行列式 学习要求 1.理解n阶行列式的定义； 2.了解并能应用行列式的基本性质； 4.掌握用行列式解有关线性方程组的克莱姆法则。 3.掌握行列式的计算方法； 主要内容 一、n阶行列式的定义 （一）排列的奇偶性 2.在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这两个数构成一个逆序。一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的逆序数。 3.逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 （二）n阶行列式的定义 n2个元素aij组成的记号 称为n阶行列式，它表示所有取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和，各项前的符号是：当这一项中元素的行(列)标按自然顺序排列后，如果列(行)标构成的排列是偶排列则取“正”号，是奇排列则取“负”号 （或：行标、列标逆序数之和为偶数取“正”号，奇数取“负”号） 。 2.上、下三角形行列式 （三）特殊行列式 1.一阶行列式 |a|=a 注意 1.转置值不变； 二、行列式的性质 （一）关于行列式等于零的性质： 2.互换两行（列）变号； （二）行列式的运算性质： 1.两行（列） 元相同； 2.两行（列） 元对应成比例； 3.某行（列） 元全为零。 3.某行（列）有公因子k，可把k提到行列式外面; 4.某行（列）元素为两项和，可裂项相加； 5.某行（列） 元素乘数k加到另一行（列），值不变。 三、行列式按行（列）展开 （一）余子式与代数余子式 1.余子式：在n阶行列式D中，去掉元素aij所在的第i行和第j列后，余下元素按原来顺序所构成的n－1阶行列式叫aij的余子式，记为Mij . 2.代数余子式：在余子式前冠以符号(－1)i+j. 3.n阶行列式D等于它任意一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式乘积之和。即： 按第i行展开 按第j列展开 4.行列式某一行（列）的每一元素与另一行（列）元素对应的代数余子式乘积之和为零。 1.如果由n个方程构成的n元线性方程组： 的系数行列式 ，则方程组有唯一解： 其中，Dj是把系数行列式第j列元素对应换为方程组的常数项所得的行列式。 四、克莱姆法则 (1)齐次线性方程组的系数行列式D≠0,则其只有零解. (2)齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D＝0. 2.克莱姆法则的两个推论（以下讨论的都是n个方程组成的n元线性方程组） 在第三章我们还得到以下结论: (1)齐次线性方程组只有零解的充要条件是其系数行列式D≠0. (2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式D＝0. 第二章 矩阵 学习要求 1.掌握矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算； 2.理解逆矩阵的概念与性质； 4.会对矩阵进行初等变换，并会求矩阵的秩。 3.会求逆矩阵； 主要内容 一、矩阵的概念 称为m行n列矩阵（或 矩阵）。 （一）由 个数排成的m行n列的数表 （二）常用的特殊矩阵： 零矩阵、n阶方阵、三角形矩阵、对角矩阵、单位阵。 1.若 ，则 二、矩阵的运算 （一）矩阵的加法 只有同型矩阵才能相加减，“和矩阵”也同型。 2.性质： （二）数与矩阵乘法 1.若 是数，则 (1)分配律： (2)结合律： 2.性质： (1)交换律：A + B = B + A (2)结合律: (A + B)+C=A+(B+C) 3.注意数乘行列式与数乘矩阵(尤其是方阵)的区别： 数k乘行列式等于将数k乘以某一行(列)元素，而数k乘矩阵A则要把数k乘以A的每一个元素。 （三）矩阵乘法 1.若 ,则 其中 (1)只有A的列数与B的行数相同时才能相乘； (2)乘积AB的行数等于A的行数，列数为B的列数。 (3)乘积AB的第i行第j列元素等于A的第i行各元素与B的第j列各对应元素乘积之和。 2.性质： (1)结合律: (2)分配律: (3) 但： (1)矩阵乘法不满足交换律，一般AB≠BA. (2)矩阵乘法不满足消去律： AB=AC B=C (4)对同阶方阵A与B，有 若A可逆： AB=AC B=C AB=O B=O (3)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵： （四）矩阵的转置 1.将m×n矩阵A的行列互换，得到的n×m矩阵称为A的转置矩阵，记为: AT或A . 2.性质： (1) (2) (3) (4) 3.注意： (1)要区分行列式转置与矩阵转置的不同。行列式转置虽然形式变了，但其值不变；矩阵转置，一般变成另一个矩阵了。 (2)特别注意性质(4)，一般地(AB)T≠ ATBT. （五）矩阵的幂 1. 设A为n阶方阵，则 2.性质： (2) (2)一般地初