初等代数研究__第4章__函数.ppt

第4章 函数的发展 函数概念的三种定义 初等函数 函数的图像与函数的特征 函数概念的教学 一 函数的发展 运动、变量与曲线的数学描述，催生了函数思想，并把函数概念和方法置于整个数学的中心地位。 函数概念是在欧洲文艺复兴之后，在资本主义文明萌芽时期的16－17世纪才逐渐产生。 法国数学家笛卡儿最先提出了“变量”的概念，他在《几何学》中不仅引入了坐标，而且实际上也引入了变量，他在指出x、y是变量的同时，还注意到依赖于而变化，这正是函数思想的萌芽。 莱布尼茨在1673年的手稿中则用“Function”一词。 李善兰在《代微积拾级》一书中将Function一词翻译为“函数”，并一直沿用至今。 1755年，欧拉提出了一个明确的函数定义： “如果某些变量以如下方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一个变量是后一个变量的函数”。 1851年，黎曼定义： “我们假定Z是一个变量。如果对它的每一个值，都有未知量W的一个值与之对应，则称W是Z的函数”。 1939年，布尔巴基学派的著作认为， 若E、F是两个集合，二者的笛卡儿积 是指XY中的任何子集S称为x、y之间的一种关系。如果关系F满足：对于每一个 ，都存在唯一的一个y，使得 ，则称关系F是一个函数。 在20世纪以前，中学数学的中心是方程。 1908年，数学家F·克莱因担任国际数学教育委员会主席。他首次提出，中学数学应当以函数为中心；或者说“以函数为纲”。实际上直到第二次世界大战之后，函数思想才全面进入中学数学课程。 中国也是这样。1949年以前，中国中学里的数学课程仍然少见函数的踪迹。到了20世纪50年代，中国数学教育全面学习前苏联，函数终于取得了中学数学课程中的核心地位。 《普通高中数学课程标准（实验）》必修课程：数学1函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）；数学4基本初等函数Ⅱ（三角函数）。 数学中的弱抽象方法 在数学的思想活动中，有一类方法是同类的事件中抽取关于数量、空间形式或结构关系方面的共同属性，舍弃其他的特征，从而形成新的数学概念。这种舍弃一部分属性保留共同属性的抽象过程称之为“弱抽象”。 弱抽象的特点是：弱抽象得到的数学对象，一般是概念外延扩大，而内涵减少。 函数的演变 函数的概念经过两百多年的发展演变，逐步由比较模糊的陈述到明确的表述。 最初的函数概念实际上是幂的同义语，也就是x，x2，x3等等，即多项式。今天看来是最简单的函数。而“函数”这一名词是由莱布尼茨最先提出。正式的函数概念也始于17世纪。 18世纪开始后，函数被理解为变量x与常量经由算术运算、三角运算、指数运算及对数运算等联结而成的一种表达式。实际指今天的初等函数。 18世纪，欧拉给出了沿用至今的函数符号f(x) 。 人们曾经为研究初等函数，用级数展开的办法。而一般形成的级数可扩大函数的对象，有些不再是初等函数。 由于把函数等同于解析表达式，甚至只是一个表示式。分段函数被称为伪函数。但是： 柯西认为：若对x每个值，都有确定的y值与之对应，则y即为x的函数。仍然把函数和解析式联系起来，只突破了仅用一个式子来表示的局限。 重大突破：德国数学家狄利克雷和黎曼认为能否用（一个或几个）解析式表达不是函数概念的本质。 Dirichlet函数： 为解释“对应”、“对应规则”，在有了集合论之后，人们又把函数定义为有序数对的集合｛（x,y）｝,其中，若（x,y）和（x,z）都在集合内，则y=z。 更一般化的函数概念把数也抽掉了。变量的变化范围不一定是一个区间，甚至不一定是数集，可以是任何一个集合。 更为普遍的函数概念是集合函数。设A是某些集合的集合（或成为集类），B也是类，若对A中的每一元素a有B种确定的元素b，那么就称在类A上定义了一个集合函数。当A和B都是单元素集，且这些元素都是实数时，这就是单变量的单值实变函数。作为“函数的函数”的泛函也含于集合函数中。 二 函数概念的三种定义 定义1 有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量。另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自变量的函数。（19世纪法国数学家柯西） 定义2 在某变化过程中，有两个变量x和y。如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系，y都有唯一确定的值和它对应，那么就把y称为x的函数；x称为自变量。（19世纪德国数学家黎曼和狄里赫勒分别给出） 定义3 A和B是两个集合，如果按照某种对应关系，使A的任何一个元素在B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系称为从集合A到集合B的函数。（19世纪70年代德国数学家康托） 定义4 从集合A到集合B的映射