定理1 方程的各个根分别等于方程的各个根的k倍..PPT

《初等代数研究》 第十一章 方程 方程的早期发展 希腊数学家Diophantine《算术》 讨论了一次、二次和个别的三次方程、不定方程、引入了未知数和未知数的符号、方程的思想，但没有给出一元二次方程的解法 古希腊、印度、中国数学家给出过一些一元二次方程的解法或一个根的公式 阿拉伯数学家花拉子模在九世纪时给出了一元二次方程的一般解法 中国数学家在13、14世纪在求高次方程数值解和解高次联立方程上有重大贡献。 十六世纪，意大利数学家丰塔纳（塔尔塔利亚，意为口吃者）等人找到了一元三次方程的一般解法 §11.1 方程的基本概念 一、方程的概念 定义1 等式 称为方程，其中， 与 都是定义在数组集上的函数。是这两个函数的定义域的交集，并且把称为这个方程的定义域。 定义2 如果数组集是 方程的定义域，M内的一组数a,b,…c满足这个方程，即有 ，那么称这一组数为这个方程的解。 定义3 的变数 称为方程 的未知元；有n个变数的方程称为n元方程。 二、方程的分类 §11.2一元方程的同解性 1方程的同解定理 定义1 如果方程（1） 的任何一个解都是方程（2） 的解，并且方程（2) 的任何一个解也都是方程（1）的解，那么，方程（1）与（2）称为同解方程。 定义2 如果方程（1）的任何一个解也都是方程（2）的解，那么方程（2）称为方程（1）的结果（或称为推演式）。 §11.3整式方程 一、方程的变换 1 使变换后的方程的各个根是原方程的各个根的k倍（倍根变形定理）. 定理1 方程 的各个根分别等于方程 的各个根的k倍. 二、一元三次方程的解法 　欧洲三次方程解法的发现是在１６世纪的意大利，那时，数学家常常把自己的发现秘而不宣，而是向同伴提出挑战，让他们解决同样的问题． 意大利数学家费罗发现了缺二次项的三次方程x3+px=q的解法，他将解法秘传给学生菲奥尔。丰塔纳则求出了缺一次项的一元三次方程x3+mx2=n的一般解法，得出正实根，他们都没有公开发表。 菲奥尔听说丰塔纳也会解一元三次方程，就向他挑战，丰塔纳接受挑战，并在公开竞赛前找出了缺二次项的三次方程的解法。结果，丰塔纳解出了菲奥尔给出的所有30道缺二次项的三次方程，而对丰塔纳给出的30道缺一次项的方程菲奥尔却一个也没有解出来！ 意大利人卡当（Cardano）在宣誓必威体育官网网址的情况下从丰塔纳那里学到了几种三次方程的解法，在丰塔纳方法的引导下，他求出各种类型一元三次方程的解法并予以证明，并在他1545年出版的著作《大术》中发表出来，当然他写明了丰塔纳和费罗等人的工作。由于卡当确实为一元三次方程的解法做了大量有益的工作，后世把一元三次方程求解公式称为“卡当公式” 三、倒数方程的解法 定理4 对于第一种偶次倒数方程 可先把它转化为一个m次方程。 §11.5 方程组的概念 1．方程组的定义 定义1 由变数x,y,…,z的函数构成的k个具有共同定义域的方程的集合称为含有未知元x,y,…,z的k个方程的方程组. 这个方程组一般表示为如下形式： 定义2 方程组中各个方程的共同的定义域称为方程组的定义域。 定义3 如果数组集M是方程组的定义域，M内的一组数 a,b,c…满足方程组中的每一个方程,那么数组a,b,c…称为方程组的一个解。 定义4 作为方程组的解的数组的集合称为这个方程组的解集。 2．方程组的同解性 定义5 如果方程组（F）的任何一个解都是方程组( )的解，方程组（ ）的任何一个解都是方程组（F）的解，那么方程组（F）与方程组（ ）称为同解方程组。 两个同解方程组显然具有相同的解集。 两个方程组可能在某一个数域上同解，而在另一个数域上是不同解的。 同解定理 定理1 如果方程组中的任何几个方程的集合被与它同解的方程组替换，那么经过部分替换以后的方程组与原方程组同解。 推论 方程组中任何一个方程可以用与它同解的方程替换，而不改变原方程组的解集。 定理2 如果方程组中某一个方程是这个方程组中其余方程的结果，那么弃去这个方程后，并不改变原方程组的解集。 推论 如果方程组中某一个方程是恒等式，那么弃去这个方程后