实验二微分方程 - 哈尔滨理工大学数学建模.DOC

《数学建模》实验指导书 刘 凤 秋 哈理工应科院应用数学系 2008年9月 实验二 微分方程 实验项目名称：利用MATLAB求解微分方程的解析解或初值问题的数值解 实验项目性质：普通实验 所属课程名称：数学建模 实验参考资料：详见公共信箱 xinke06_1_2@yahoo.cn中的微分方程实验电子课件； 实验计划学时：4 一、实验目的： 1、利用MATLAB求解微分方程的解析解或初值问题的数值方法； 2、通过实际例题学习用微分方程模型解决简化的实际问题； 3、了解龙格-库塔方法的基本思想和计算公式，及稳定性等概念。 二、实验内容 2.1 求解微分方程解析解与初值问题数值解的相关命令基本用法 1、求解微分方程； 2、求解微分方程； 3、求解线性微分方程组，其中矩阵=。 4、求解初值问题的解析解及数值解： 2.2 建模实例 1、第七章7.3节（172页至174页。注：只针对173页---1. 数值解及其图像---进行实验）； 2、田鼠与天敌数学模型 在生物的种群关系中，一种生物以另一种生物为食，称为捕食。一般，由于捕食关系，当捕食动物数量增长时，被捕食动物的数量即逐渐下降，捕食动物由于食物来源短缺，数量也随之下降，而被捕食动物数量却随之上升。这样周而复始，捕食动物与被捕食动物的数量随时间形成周期性的震荡。表1和表2分别给出了每隔两个月在田间调查的田鼠及其天敌种群数量的记录。 表1 田鼠种群数量 29.7 33.1 32.5 69.1 134.2 236.0 269.6 162.3 69.6 39.8 34.0 20.7 21.7 37.6 57.6 124.6 215.8 272.7 195.7 95.0 41.9 25.7 10.9 22.6 33.6 48.1 92.5 183.3 268.5 230 111.1 2 田鼠的天敌种群数量 1.6 1.3 1.1 1.2 1.1 1.3 1.8 2.2 2.4 2.1 1.9 1.5 1.5 1.2 0.9 1.1 1.3 1.6 2.3 2.4 2.1 1.7 1.8 1.4 1.2 1.0 0.9 1.1 1.3 1.9 2.3 试用表1和表2分别给出的数据说明田鼠及其天敌的田间种群消长动态规律也是如此。 试用数学模型来概括这种现象，并总结出其数量变化的近似公式。 2.3 刚性方程数值解（ode23、ode45等与ode23s、ode15s等的区别） 求解上述方程组的解析解； 分别使用ode23与ode23s求解上述方程组的数值解，取计算区间为[0，1]； 分别使用ode23与ode23s求解上述方程组的数值解，取计算区间为[0，10]。 三、实验方法、步骤及结果分析简要提示 1、详细的使用请参考公共信箱xinke06_1_2@yahoo.cn中的电子课件； 2、 一般微分方程式描述系统内部变量的变化率如何受系统内部变量和外部激励的影响。当常微分方程能够求解析解时，可用MATLAB的符号工具箱中的功能找到精确解。 Matlab中常微分方程的符号求解法 命令形式1：r=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…, ’var’) 或r=dsolve(‘eqn1,eqn2,…’, ’var’) 功能：求微分方程或微分方程组的通解。 其中：eqni：代表第i个常微分方程；var：表示自变量，默认时自变量为t。 返回值r为此方程或方程组得通解，其中包含积分常数。 命令形式2：r=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…,’cond1’,’cond2’,… ’var’) 或r=dsolve(‘eqn1,eqn2,…’,’cond1,cond2,…’ ’var’) 功能：求微分方程或微分方程组满足初值条件的特解。 其中：condi：表示第i个初始条件。 注：1）在Matlab中，约定D1表示一次微分，D2表示二次微分，依次递推，Dn表示n次微分。 2）符号Dy相当于Dy/Dt； 3）函数dsolve把D后面的变量当做因变量，默认这些因变量是对自变量t求导，当然也可指定其他因变量。 例1、一阶常微分方程eq1. 二阶常微分方程eq2. 常微分方程组 eq3. r1=dsolve(Dy=3*x+y,x) % 一阶常微分方程eq1. r2=dsolve(D2y-y=2,x) % 二阶常微分方程eq2. [x,y]=dsolve(Dx=x+y,Dy=-x+y,x(0)=1,y(0)=2,t) % 常微分方程组 eq3. 2.2 Matlab中常