山东省冠县第一中学2015-2016学年初升高知识衔接《十字相乘法》（无答案）.docVIP

初高中知识衔接（一） -------十字相乘法 一、十字相乘法分解因式的意义 利用画十字交叉线分解系数，来把二次三项式分解因式的方法叫十字相乘法． （1）∵(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab ∴x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 如图（1） （2）又∵(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2 ∴a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2) 如图（2） 二、为什么学习十字相乘法？学习关键是什么？ 十字相乘法能把某些二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式．这种方法的关健是把二次项的系数a可以分解成两个因数a1，a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2), 在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号. [来源:Zxxk.Com] 三、例题分析 例1.把下列各式分解因式： (1)x2+2x-15 (2)x2-6x+8 (1)分析：常数项(-15)＜0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2．在分解时，可用下面的式子进行验算． [来源:学科网ZXXK](2)分析：常数项8可以分解为两个同号整数的积，即为8=1×8，8=(-1)(-8)；或8=2×4，8=(-2)(-4)．其中只有-2与-4的和为-6. 解：x2-6x+8 =(x-2)(x-4) 例2. 把下列各式分解因式：(1)2x2-5x-3 (2)5x2-21x+18 (1)分析：我们要把这个多项式分解成形如()·()的形式，这里的a1a2=2，c1c2=-3，a1c2+a2c1=-5，由十字相乘法竖式（怎么写？）可知关键问题在于确定二次项系数2的两个因数a1和a2、常数项-3的两个因数c1和c2.二次项系数2可分解为2×1，常数项-3＜0可分解为两个异号整数的积即为(-3)×(1)，3×(-1)，最后考虑一次项系数-5，它是十字相乘法寻找这四个数的关键，因为-5＜0，所以a1c2+a2c1＜0.而a1＞0，a2＞0，所以，的寻找就相对容易了. 解：2x2-5x-3 =(x-3)(2x+1) 说明：通过十字相乘的验算公式后写结果时要横向写，不要对角写结论，注意避免出现2x2-5x-3=(x+1)(2x-3)这样的错误. (2)分析：因为二次项系数为质数5，可分解为1×5竖式中可将左边先固定，再分解常数项18，18＞0，∴18=(1)(18)，18=(-1)(-18)，18=2×9，18=(-2)×(-9)，18=3×6，18=(-3)(-6)．根据一次项系数为-21，所以只可选用(-3)(-6).[来源:学#科#网Z#X#X#K]（1）分析：把(x+y)看成一个整体，这样，这个多项式就是关于(x+y)的二次三项式，很容易依照前面的方法分解： 解：(x+y)2+2(x+y)-24 =[(x+y)+6][(x+y)-4] =(x+y+6)(x+y-4) （2）分析：把原式变形为式a2-(5b)a-24b2，即把-5b看作a的系数，把-24b2看作常数项，这样可将原式看成a的二次三项式，用十字相乘法分解. 解：a2-5ab-24b2=a2-(5b)a-24b2=(a+3b)(a-8b) 说明：要注意避免a2-5ab-24b2=(a+3)(a-8)这类的错误，也要避免a2-5ab-24b2=(a+8b)(a-3b)这类的错误. 例4. 把下列各式分解因式：(1)x4-3x2-4 (2)x4-10x2y2+9y4 (1)分析：把原式写成(x2)2-3(x2)-4，它仍旧是x2的二次三项式，可以用十字相乘法分解．-4=(-4)×1而-3=-4+1 解：x4-3x2-4 =(x2)2-3(x2)-4 =(x2-4)(x2+1) =(x2+1)(x+2)(x-2) (2)分析：原式可变形为(x2)2-10y2(x2)+9(y2)2即可看成x2的二次三项式，再采用十字相乘法分解因式． 解：x4-10x2y2+9y4 =(x2)2-10y2(x2)+9(y2)2 =(x2-y2)(x2-9y2) =(x+y)(x-y)(x+3y)(x-3y) 说明：应用十字相乘法分解后原式为(x2-y2)(x2-9y2)，要再对它进行分解后方为最后结果（两个因式都分别应用平方差公