微分方程实例.PPT

第二章人(虫)口-资源-环境动力模型 2007 2.1 地学建模的动力学机制分析 由于(2.6)的解的形式为指数形，所以x将随时间的增长以指数形式快速地无限增大,所以模式(2.6)也是一种极端近似下的数学模型，它代表的是一种随时间作指数形式快速离开初始状态的增长模式，如虫口模式，可再生模式，指数增值模式，指数扩张模式等。 以上的分析表明： ? 常数形动力系统不存在定态，系统的演化特性是随时间成正比增长的直线运动； ? 线性动力系统只能研究单态客观系统，系统的演化特性是随时间变化作指数增长的曲线运动； ? 2次非线性动力系统可研究双态或单态的客观系统，系统的演化特性是随时间变化作反比增长函数形的曲线运动； 只存在动力的模式系统是不稳定的。状态的变化意味着系统的突变，而环境的突变就意味着灾难。在多数情况下，客观状态都是稳定的。否则人类就无法生存。 所要建立的地学模式，必须具有稳定的定态的。即模式系统必须具有阻力项。 1.2 F=0 类似地，对只有阻力的模式动力系统，有： ? 常数形阻力系统不存在定态，系统的演化特性是随时间成正比衰减的直线运动； ? 线性阻力系统只能研究单态客观系统，系统演化特性是随时间变化作指数衰减的曲线运动； ? 2次非线性阻力系统可研究双态或单态的客观系统，系统的演化特性是随时间变化作反比衰减函数形的曲线运动。 结合1.1和1.2的的结论，在建模前可根据对研究对象的已知信息来决定模式的数学形式，如动力项（正的多项式或单项）和阻力项（负的多项式或单项）共存，而单态或多态的系统则分别对应于一次或高次的动力系统。 对于二元耦合系统，存在内部的相互作用和反馈，可分为单向或双向。 单向对应于主次分明或权重差异很大的耦合系统； 如鲨鱼-小鱼耦合系统里，鲨鱼对小鱼施加了一个单方向的捕食作用，而小鱼则无法向鲨鱼施加类似的捕食作用； 双向对应于权重相差不是太大的耦合系统。 如交战的两个国家都可以给对方施加一个破坏的作用。 故在二元（及以上）的耦合系统里： ①考虑不同物理要素各自所受到的动力和阻力； ②考虑两者之间的相互作用，这种相互作用可以是常数形、线性形，非线性形的；可以是单向或双向的。 (2.17)已经是一个普适的虫（人）口模式或普适的可再生资源模式： 　　① n1：虫（人）与环境的不协调，其发展受到了环境约束。 　　② 0n1：虫（人）与环境协调，减小环境对其发展的约束影响； 　　③ n0：虫（人）与环境的和谐关系。 §2.2 Malthus模型与Logistic模型 稳定性问题 §2.3 捕食系统的Volterra方程 模型假设 （Ⅰ）相互关系中仅有一种捕食者与一种猎物； （Ⅱ）如果捕食者数量下降到某一阈值以下，猎物数量就上升，而捕食者数量如果增多，猎物种数量就下降; （Ⅲ）如果猎物数量上升到某一阈值，捕食者数量增多，而猎物数量如果很少，捕食者数量就下降。 这一简单的模型做了一个有趣的预测：捕食者和猎物种群会发生动态循环，就象在自然的捕食者-猎物种群动态中所观察到的。 §2.4 较一般的双种群生态系统 　　捕获的各种鱼的比例近似地反映了地中海里各种鱼类的比例。战争期间捕鱼量大幅下降，但捕获量的下降为什么会导致鲨鱼、鳐鱼等食肉鱼比例的上升，即对捕食者有利而不是对食饵有利呢？ 数学家V.Volterra(意大利)进行了数学建模。　 Volterra将鱼划分为两类。一类为食用鱼(食饵)，数量记为x1(t)，另一类为食肉鱼(捕食者)，数量记为x2(t)，并建立双房室系统模型。 1、模型建立 大海中有食用鱼生存的足够资源，可假设食用鱼独立生存将按增长率为r1的指数律增长（Malthus模型），即设： 由于捕食者的存在，食用鱼数量减少，设减少的速率与两者数量的乘积成正比（竞争项的统计筹算律），即： 对于食饵（Prey）系统 ： λ1反映了捕食者掠取食饵的能力 对于捕食者（Predator）系统 ： 捕食者设其离开食饵独立存在时的死亡率为r2，即： 但食饵提供了食物，使生命得以延续。这一结果也要通过竞争来实现，再次利用统计筹算律，得到： 综合以上分析，建立P-P模型（Volterra方程）的方程组： （2.10） 没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者间的相互制约关系 2、模型分析 方程组（2.10）是非线性的，不易直接求解。该方程组共有两个平衡点，即： 方程组还有两组平凡解： 和 和 当x1(0)、x2(0)均不为零时， ，应有x1(t)0且x2(t)0，相应的相轨线应保持在第一象限中