微元法在解题中的应用 - 江苏省镇江第一中学.DOC

微元法在解题中的应用 江苏省镇江第一中学 邹建平 随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具，使得高中物理不仅可以从研究方法上得到提升，这也就使得学生利用数学方法处理物理问题的能力得到很大的提高。在教学中渗透微元思想，对加深学生对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力将起到重大的作用．比如：位移对时间的变化率——瞬时速度：，求位移：；速度对时间的变化率——加速度：，求速度；动量对时间的变化率——力：，求冲量；磁通量对时间的变化率——感应电动势：；通过导体某一截面的电量对时间的变化率——电流强度：，求电量；功对时间的变化率——瞬时功率：，求功；穿过线圈的磁通量对时间的变化率——感应电动势：。学生掌握微元思想对这些物理概念、规律的理解，拓宽知识的深度和广度，开拓解决物理问题的新途径，是认识过程中的一次“飞跃”。 一、用微元法解题的基本方法和步骤 例. 如图所示，水平放置的导体电阻为R ，R与两根光滑的平行金属导轨相连，导轨间距为L ，其间有垂直导轨平面的、磁感应强度为B的匀强磁场。导轨上有一导体棒ab质量为m以初速度v0向右运动。求这个过程的总位移？ 解析：根据牛顿第二定律，导体棒在运动过程中受到安培力作用，导体棒做非匀减速运动， 在某一时刻取一个微元 变式 两边求和 因 故 得 小结：在处理非匀变速运动问题时，从对事物的极小部分(微元)分析入手，达到解决事物整体的方法。 在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法（累计求和）进而使问题求解。在解题过程中，常常遇到非匀变速运动过程中求位移，电量，能量等问题，灵活运用微元的思想，可以帮助我们更深刻的理解物理过程。 微元法的解题思路：①选取“微元”，将瞬时变化问题转化为平均变化问题（避免直接求瞬时变化问题的困难）；②利用数学“微积分”知识，将平均变化问题转化为瞬时变化问题（充分利用数学工具，既完成问题“转化”且保证所求问题的性质不变，又能简单地求得结果） 微元法的解题步骤：①确定研究对象，选取“微元”；②列出相关微元的方程；③对相关微元进行累积求和或求导。 二、用微元法解题的方法的应用 1、微元法在动量定理中应用 例1、 一质量为m、带电量为＋q的带电粒子（重力不能忽略），以速度v0从磁场上边界竖立进入一宽度为d的匀强磁场区域（如图所示），磁感应强度为B，试求粒子飞出磁场的方向？ 解: 该带电粒子的运动分解为水平和竖直两个方向的运动．在水平方向除洛仑兹力分力外无其它力的作用，所以在水平方向用动量定理有： △px=Fx△t =qEvy△t ∑△px =∑qBvy△t mvcosθ=qBd，而粒子在下落过程中只有重力做功，所以有mv2/2-mv02/2=mgd,，得v=，代人上式则得cosθ=qBd/(m)． 2、微元法在变化的电量中运用 如图所示，六段相互平行的金属导轨在同一水平面内，长度分别为L和2L，宽间距的导轨间相距均为2L、窄间距的导轨间相距均为L，最左端用导线连接阻值为R的电阻，各段导轨间均用导线连接，整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中．质量为m的导体棒可在各段导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直．导轨和导体棒电阻均忽略不计．现使导体棒从ab位置以初速度v0垂直于导轨向右运动，则 （1）若导体棒在大小为F、沿初速度方向的恒定拉力作用下运动，到达cd位置时的速度为v，求在此运动的过程中电路产生的焦耳热． （2）若导体棒在水平拉力作用下向右做匀速运动，求导体棒运动到cd位置的过程中，水平拉力做的功和电路中电流的有效值． （3）若导体棒向右运动的过程中不受拉力作用，求运动到cd位置时的速度大小． 解析：（1） （2） 重点讨论第（3）题 （3）设导体棒在每段宽间距和窄间距轨道上运动速度变化的大小分别为和，在宽间距轨道上，根据牛顿第二定律，在时间内有 ，则 ， ∑ =写出式， 同理 所以导体棒运动到cd位置时的速度大小 3、微元法在变化的速度中应用 例．如图所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于竖直平面内，两导轨间的距离为d，导轨上面横放着两根导体棒L1和L2，与导轨构成回路，两根导体棒的质量都为m，电阻都为R，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有与导轨所在面垂直的匀强磁场，磁感应强度为B。两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，保持L1向上作速度为υ的匀速运动，在t=0时刻将靠近L1处的L2由静止释放(刚释放时两棒的距离可忽略)， 经过一段时间后L2也作匀速运动。