数值方法与勘根定理之应用 柯弘裕.PDF

數值方法與勘根定理之應用 數學科 柯弘裕老師 壹、前言 在高職數學中，三角函數與指數對數分別編排在高一上學期及下學期的課程裡， 新的數學內容總是令人好奇，在學習完這些單元後，正對自身數學能力的提升而自信 滿滿時，卻被一個高中數學問題完全擊潰。 這個問題的敘述如下： log x −x 方程式 會有多少個實根？ 一開始完全沒有方向，毫無頭緒，只能胡亂地天馬行空思考，參考解答後，才發 現原來它是利用圖解的方法來說明，解法及圖形如下： y −x ⎧ 令 ⎨ y log x ⎩ 等價於找出此二圖形的交點 因此方程式有一個實根 哇！好奇妙的解法，正當豁然開朗時，腦海中亦浮現另一個更有趣的問號，＂那 這個解是什麼呢？到底長得什麼模樣？請教一年級時授課的數學老師，似乎都得不到 一個完整的答案，因此，這個疑問一直擱置在心中，直到小論文的開始，才有機會重 新來探討這個解的形式。 貳、正文 針對這個問題，這次集合兩位同學的力量，試著去處理解的型式，我們透過紙本 計算，網路，查書等等方式，幾乎都得到相同的答案，在毫無進展的情形下，便求助 我們的指導老師，老師說，這是一個非線性方程式，以目前的高中數學知識，也許無 法求出這個問題的解，但如果想知道此解的近似值，則可以尋找一些求解的數值方式， 有了思考的方向，便開始展開我們的研究之旅。 一、數值方式 求解的數值方法有很多種，例如：對分法、牛頓法、割線法、試算法等。以下便簡 單介紹兩種方法： 1. 牛頓法 [ ] ( ) 假設 f 在 a,b是連續函數，並且 P是其解，即 f P 0 ( P −x是非常小) [ ] ( ) 令x ∈ a,b是一個非常接近的值，使得 f x ≠0 ( )2 ′ x −x ( ) () ( ) () ′( ) 泰勒展開式得f x f x +f x −x f x + f k ，其中k介於x和 x 之間 2 ( ) 因為 f P 0得 由於 P −x是非 常小的，以至於 2 (P −x ) 亦非常的 小，便將於省略 而得以下結果