应用不等定理证明不等式.pdfVIP

《兰州教育学院学报》 2007 年第4 期 应用不等定理证 明不等式 · 周再 禹 ( 兰州教育学院数学系，甘肃 兰州 730020) [摘 要」不等式证明题是数学证明题的重要组成部分，其 内容相当丰富，证法非常多，本 文将应用不等定理来证明不等式. 关〔健词」不等定理; 应用 【中圈分类号」0 122.3 【文献标识码」A 不等定理 设f (x) 和g (x) 满足:①在[a ,b] 上可导;) y x e ( a ,b) ,f (x) g (x) ( 或f (x) g (x) ;( f ( a) ==g( a) ，则对d 二。( a ,b) ，有f (x) g(x) ( 或f (x) g(x) ) . 证明:记F(x) =f (x) 一g ( 二) ，二。[a ,b] ，则b x 。( a ,b) ，有F ( 二) =f ( x) 一g ( x) 0 ( 或0) ，所以F (x) 在( a ,b) 内严格递增( 或递减) . 又F(x) 在[a ,b] 上连续，F(a ) =f (a ) - g ( a) =0 ，故对Vx 二( a ,b) 有F(x) =f (x) 一g( x) 0( 或0) ，即f ( 二) g ( x) ( 或f ( 二) g ( 二) ) . 说明 条件③改为f(b) =g(b) 后可建立相似论断. 一、一个孟要不等式 d : 二(0, +00 ) ，试证丁毛一 n( 1+二) 二. ’-一 、一’一 产’一， l + x - 一 、一 ’一产 证明 先证右半段. 令F(二) =二一n( 1+二) ，有F (x) 二;典一0(二0 .对y x 0 ，有 一 ，‘ 产“一 “” 一 、 一、一产 -- 一 、一 ”一产”刁一 、一 1 + 劣一 、-- 一 产’’‘‘. -- 一 ” ‘ F(x) =x 一n( 1+x) 0 二F(0) =}x n( 1+二) (x 0) . 同理可证左半段. 由上述不等式可派生出几个重要的数列不等式: 、取‘一n1，得l+1nn( +‘1n) 1 1 n + 得 + - + - 2 、对上式右半段乘n ，左半段乘 n n