趣味数学2008.11.5.ppt

趣味数学 二.埃舍尔的画与数学 一.自然中的数学 1.蝉的“生存战略” 每年夏季来临，蝉的演唱会就开始了。蝉演唱会辉煌却短暂，音乐节谢幕即辞世。你或许不知道，对许多种类的蝉而言，为了迎来这生命中的绝唱要等待多么漫长的岁月。 全世界已发现的蝉的种类多达几千种(也有资料认为，迄今为止人类所知的蝉有15000余种)，我国已发现了200多种。这些种类繁多的蝉的生命周期各异。有每年夏季出现的，也有以几年为一周期出现的。如3年、5年、7年、13年。而生存于北部非洲的一种蝉其生命周期长达17年，被称为17年蝉。我国多数蝉的生命周期在3到7年，其中近一半为5年蝉。 3、5、7、13、17，在蝉的这些生命周期数中蕴含着一个共同点：它们都是素数。为什么许多蝉会选择素数作为生命周期呢?生命周期的年数是素数这一点有无特殊的意义? 2.蜜蜂为什么选择了正六边形? 2.蜜蜂为什么选择了正六边形? 正三角形固然坚固，但空间狭小，且相对费料 正四边形两侧又不太牢固，容易遭到外部力量的破坏 正六边形——边相互对接紧密；结构坚固；用料较少，经济实用 珊瑚虫身微小,口周围长着许多小触手,用来捕获海洋中的微小生物.它们能够吸收海水中矿物质来建造外壳,以保护身体.　珊瑚虫大多群居生活.虫体一代代死去,而它们分泌的外壳却年深久的在一起,慢慢形成千姿百态的珊瑚,进而形成珊瑚礁. 3.鹦鹉螺 3.生命的曲线 对数螺线 5.菜花中的曲线 6.生命中的DNA曲线 二.埃舍尔的画与数学 埃舍尔把自己称为一个图形艺术家，他专门从事于木版画和平版画。1898年他出生在荷兰。他的家庭设想他将来能跟随他的父亲从事建筑事业，但是他在学校里那可怜的成绩以及对于绘画和设计的偏爱最终使得他从事图形艺术的职业。他的工作成果直到五十年代才被注意，1956年他举办了他的第一次重要的画展, 这个画展得到了《时代》杂志的好评, 并且获得了世界范围的名望。在他的最热情的赞美者之中不乏许多数学家, 他们认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化。 因为这个荷兰的艺术家没有受过中学以外的正式的数学训练，因而这一点尤其令人赞叹。随着他的创作的发展，他从他读到的数学的思想中获得了巨大灵感，他工作中经常直接用平面几何和射影几何的结构，这使他的作品深刻地反映了非欧几里德几何学的精髓，下面我们将看到这一点。他也被悖论和不可能的图形结构所迷住，并且使用了罗杰·彭罗斯的一个想法发展了许多吸引人的艺术成果。这样, 对于学数学的学生，埃舍尔的工作围绕了两个广阔的区域：空间几何学和我们或许可以叫做的空间逻辑学。 随着他的创作的发展，他从他读到的数学的思想中获得了巨大灵感，他工作中经常直接用平面几何和射影几何的结构，这使他的作品深刻地反映了非欧几里德几何学的精髓 .他用几何学中的反射、平滑反射、变换和旋转来获得更多的变化图案。他也精心地使这些基本图案扭曲变形为动物、鸟和其他的形状。这些改变不得不通过三次、四次甚至六次的对称以便得到镶嵌图形。这样做的效果既是惊人的，又是美丽的。 三个方向交叉的平面 蛇 圆形限制 互绘的手 鱼和规模 莫比乌斯带 从艺术中诞生的科学 数学对绘画艺术作出了贡献，绘画艺术也给了数学以丰厚的回报．画家们在发展聚焦透视体系的过程中引入了新的几何思想，并促进了数学的一个全新方向的发展，这就是射影几何． 射影几何集中表现了投影和截影的思想，论述了同一物体的相同射影或不同射影的截景所形成的几何图形的共同性质．这门“诞生于艺术的科学”，今天成了最美的数学分支之一． 分形—数学的绘画艺术 英国的海岸线有多长? 客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。从而产生了特征长度。还有的事物没有特征尺度，就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度（或者叫标度），这叫做“无标度性”的问题。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。 数学家柯赫(Koch)从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。以后可以看到，分维才是“Koch岛”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于1到2之间。 这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的星体分布，就具有分维的吸引子。多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型，都是分形的研究对象。这些促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学。 分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割