高等数学BIT8-5重积分换元法与含参量积分.ppt

小结 *第五节 一、被积函数含参变量的积分 证: 定理1 表明, 定理2. (可积性) 定理3. (可导性) 例1. 例2. 二、积分限含参变量的积分 定理4.(连续性) 定理5. (可微性) 利用复合函数求导法则及变限积分求导, 得 例3. 含参量反常积分 解: 由被积函数的特点想到积分: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 考虑含参变量 t 的积分所确定的函数 显然, 由于 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 因此得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在实际问题中, 常遇到积分限含参变量的情形, 例如, 为定义在区域 上的连续函数, 则 也是参变量 x 的函数 , 其定义域为 [ a , b ] . 利用前面的定理可推出这种含参积分的性质. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上连续, 则函数 证: 令 则 由于被积函数在矩形域 上连续, 由定理1知, 上述积分确定的函数 都在 中的可微函数, 则 证: 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 例2 解法1 解法2 解法3 补充：利用对称性化简三重积分计算 使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性； ２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性． 轮换对称性： 积分区域D关于坐标轴的轮换是对称性的（x变y，y变z，z变x时，区域不变），则 ∫∫∫f(x,y,z)dV＝∫∫∫f(y,z,x)dV＝∫∫∫f(z,x,y)dV 解 小 结 1.柱面坐标系下 两种坐标系下三重积分的计算 由柱面与直角坐标的关系 有 体积元素 若 则 且被积函数含有 常用极坐标 且被积函数含有 常用极坐标 的侧面由圆柱面或 且被积函数含有 常用柱坐标 2.球面坐标 由球面坐标与直角坐标的关系： 三重积分在球面坐标系下的形式： 体积元素 其中 一般地，空间区域 包含原点在其内部，边界曲面为 则有 当 的边界由球面、锥面等围成，且 被积函数中含有 常用球面坐标 常用球面坐标 §5 重积分换元法及含参积分 1.二重积分的换元公式： x,y的范围 u,v的范围 要加绝对值 利用一般换元法求二重积分 步骤： ⑴根据题目的特点(区域及被积函数)确定变换; (3)在变换下确定u,v的范围△; 作图 (4)代入换元公式，化为关于u,v的二重积分; (5)用§2求二重积分的方法求出其值。 题型一：引入变量替换后，化为累次积分 题型二：作适当的变量替换，计算二重积分 例1 解 例2 解 2、三重积分的换元公式 设作变换 且 假设这些函数建立了区域 的点 与区域 的点 之间一一对应关系，并且这些函数在所论区域内有连续偏导数。 这时存在逆变换 于是三重积分的换元法则为 在 坐标内，体积元素为 在区域 的个别点上或某条曲线,某块曲面上等于零,而在其它点处非零时,换元法仍然成立. 基本要求:变换后定限简便，求积容易． 级数与积分是构造函数的两个重要分析工具。我们已经介绍了一种利用定积分构造的函数──积分上限的函数。 下面介绍另一种利用 Riemann 积分构造的函数──含参变量的积分，并研究它们的分析性质：连续性、可微性、可积性。 一、被积函数含参变量的积分 二、积分限含参变量的积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 含参变量的积分 第八章 上的连续函数, 则积分 确定了一个定义在[a, b]上的函数, 记作 x 称为参变量, 上式称为含参变量的积分. 含参积分的性质 定理1.(连续性) 上连续, 则由 ① 确定的含参积分在[a, b]上连续. — 连续性, 可积性, 可导性 : ① 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭区域R上连续, 所以一致连续, 即 只要 就有 就有 这说明 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义在闭矩形域上的连续函数, 其极限运 算与积分运算的顺序是可交换的. 同理可证, 续, 则含参变量的积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由连续性定理易