常微分方程2.3,初值问题解的性质.docx

PAGE \* MERGEFORMAT12 第三节 初值问题的解的性质 一、初值问题的解是自变量、初值的三元函数 时至今日，我们都是把初值视作固定不变的，去讨论初值问题的解，这个解自然是自变量的函数，但还不能完全反映实际情况. 因为在应用上，我们将一个实际问题化为微分方程的初值问题时，初值通常是通过做试验进行观察或测量而获得的，难免不产生误差而保持它们绝对准确. 由此可知，初值一般不是固定不变而是可以变动的. 初值的变动，必然导致相应初值问题的解的随之变动. 因此，一般地说，初值问题的解该是自变量，初值的三元函数. 例如初值问题 的解是，它显然是的三元函数，并且关于还是连续、可微的. 我们把初值问题(2.1.1)，(2.1.2)的解记为 (2.3.1) 并且假定它已经向左右两个方向延拓，即假定(2.3.1)是(2.1.1)，(2.1.2)的饱和解，同时，按照函数的定义，还应有 . 二、初值问题的解关于初值的一些基本性质 1. 初值问题的解关于初值的对称性 定理4 设初值问题(2.1.1)，(2.1. 2)的解 (2.3.1) 是唯一的，则式(2.3.1)中的与可以互换其相对位置，即(2.3.1)在其存在范围内可变换为 (2.3.2) 证 若任取，则由(2.3.1)，有，于是，由初值问题解的唯一性知，方程(2.1.1)的过点的解与过点的解应是同一个解或同一条积分曲线. 因此，方程(2.1.1)的过点的解可表示为 (2.3.3) 并且按函数的定义，有 (2.3.4) 由于是任取的，所以是方程(2.1.1)的过点的积分曲线上的任一点，从而将(2.3.4)中的换为上的任一点亦是成立的，即有 这就证明了初值问题关于初值的对称性. 2. 初值问题解关于初值的连续性 初值问题(2.1.1)，(2.1.2)的解一般是自变量，初值的三元函数，并且关于还是连续和可微的. 下面我们就从理论上论述这一事实. 引理1 设方程(2.1.1)右端的函数在某区域内连续，且在内关于满足L-条件，L-系数是. 若和分别是方程(2.1.1)的定义在区间和上的任意两个解，区间，则对及某，均有 (2.3.5) 证 令，则 于是，有，即. 故对满足的任意，有 即 (2.3.6) 而对满足的任意，令，并记，则方程(2.1.1)变为 (2.3.7) 且易知(2.3.7)有解 和 再令，则由上述推理知，对，满足的任意，有 (2.3.8) 因 (2.3.9) 故将(2.3.9)代入(2.3.8)，得 (2.3.10) 于是，由(2.3.6)和(2.3.10)即知，对及某，均有 定理5 设方程(2.1.1)右端的函数在区域内连续，且在内关于满足局部L-条件，L-系数是，，若是初值问题(2.1.1)、(2.1.2)的定义于区间上的解，则对任给的，存在，使当时，方程(2.1.1)的过点的解至少亦在区间上有定义，并且对任意，有 证 首先，若记，则可以找到一个满足的有界闭集，使在内关于满足L-条件，L-系数是. 事实上，是方程(2.1.1)的过点的一条积分曲线段，它显然是区域内的一个有界闭集. 于是，由定理5的假定，对每一，必可作一个开圆 使方程(2.1.1)右端的函数在内关于满足L-条件，L-系数是. 因此，根据有限覆盖定理，可以找到具有上述性质的有限个开圆 把它们全部“拼起来”，即既在内，又完全覆盖，亦即且在每个内关于满足L-条件，L-系数是，. 当然，亦在内关于满足L-条件，L-系数可取为，同时，根据聚点原理可推知，与的边界的距离. 于是，对任给，若取 及 并记，则满足 且在内关于满足L-条件，L-系数是. 其次证明，对上述任给的，必找得到正数，使当满足不等式 时，方程(2.1.1)的过点的解至少亦在区间上有定义. 事实上，因方程(2.1.1)的右端函数在有界闭集上连续且在内关于满足L-条件，故由解的延拓定理4知，方程(2.1.1)的过点的积分曲线必能延拓到区域的边界上去. 设它在的边界上的点为和，则这时必满足 如若不然，则有 于是，由引理1则有 又由作为的函数的连续性知，对，存在，使当时，有. 若取，则当 时，有 即对，有 (2.3.11) 特别地，当和时，即有 和 这说明：点、均不在有界闭集的边界上而在的内部，这与假设矛盾. 故，从而解至少在区间上有定义. 最后，由(2.3.11)即知，对任给，存在，(其中，，而，且)，使当时，对，有 推论2 (初值问题的解对初值的连续性定理) 在定理5的条件下，方程(2.1.1)的过点的解作为自变量，初值的三元函数在点处连续.