线面垂直、三垂线定理.doc

2．3线面垂直一、复习目标 1．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，能用文字、符号、图形规范表述. 2．．通过线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化提高化归转化能力. ．会求斜线与平面所成的角. 二．建构知识 1．直线和平面垂直定义：一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直.记作：a⊥α 2．直线与平面垂直的判定方法： （1）判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则则线垂直； （2）依定义，一般要用反证法； （3）和直线的垂面平行的平面垂直于直线； （4）面面垂直的性质. 3．直线和平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线平行. 4．点到平面的距离、直线和平面的距离以及面面距离的求法： 找出垂线段，在一个平面内求，或用等积法、向量法求， 5．斜线、射影、直线和平面所成的角：定义—— 性质：从平面外一点向平面所引的垂线段和斜线段中 （1）垂线段最短； （2）斜线段相等=射影相等； (3)斜线段较长（短）=射影较长（短）. 三、双双基题目练练手 1.已知a，b，c是直线，(，(是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面(的是（ ） A.a⊥c,a⊥b，其中b((,c(( B.a⊥b,b∥( C.(⊥(，a∥( D.a∥b,b⊥( 2.如果直线l⊥平面(， ①若直线m⊥l,则m∥(； ②若m⊥(,则m∥l； ③若m∥(,则m⊥l； ④若m∥l,则m⊥(, 上述判断正确的是 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.②④ 3.直角△ABC的斜边BC在平面(内，顶点A在平面(外，则△ABC的两条直角边在平面(内的射影与斜边BC组成的图形只能是 A.一条线段 B.一个锐角三角形 C.一个钝角三角形 D.一条线段或一个钝角三角形 4.已知P为Rt△ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC，D为斜边AB的中点，则直线PD与平面ABC.A．垂直 B.斜交 C.成600角 D.与两直角边长有关 5．直线a,b,c 是两两互相垂直的异面直线，直线 d是b和c的公垂线，则d和a 的位置关系是______________. 6．（2006浙江）正四面体ABCD的棱长为l，棱AB∥平面，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是______. ◆答案提示：1-3.DBDA; 5. a∥d; 6. .CD⊥平面α时射影面积最小；CD//α时射影面积最大. 四、经典例题做一做 【例1】AD为△ABC中BC边上的高，在AD上取一点E，使AE=DE，过E点作直线MN∥BC，交AB于M，交AC于N，现将△AMN沿MN折起，这时A点到A(点的位置，且(A(ED=60(，求证：A(E⊥平面A(BC. 【例2】如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平 面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F， 求证： （1）BC⊥平面PAB； （2）AE⊥平面PBC； （3）PC⊥平面AEF. 证明：（1）PA⊥平面ABC PA⊥BC AB⊥BC PA∩AB=A （2）AE平面PAB， 由（1）知AE⊥BC AE⊥PB PB∩BC=B （3）PC平面PBC， 由（2）知PC⊥AE PC⊥AF AE∩AF=A 【例3】如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，(ACB=90(,AC=1,CB=，侧棱AA1=1，侧面A A1 B1B的两条对角线交于点D，B1C1的中点为M， 求证：CD(平面BDM 证明：在直三棱柱中，又 ∴平面， ∵，∴， ∴， 连结，则上的射影,也是CD的射影 在中， 在中，， ∴∴， ∴， ∴平面. ◆总结提练 证线面垂直, 要注意线线垂直与线面垂直关系与它之间的相互转化 证线线垂直常用余弦定理、勾股定理逆定理,三垂线定理或通过线面垂直. 【例4】（2006浙江）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，， 底面， 且，分别为、的中点. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求与平面所成的角. 解：（I）∵是的中点，，∴. ∵平面，∴，从而平面. ∵平面，∴. （II）取的中点，连结、，则， ∴与平面所成的角和与面所成的角相等. ∵平面， ∴NG是BG在面ADMN内的射影, 是与平面所成的角. 在中，. 故与平面所成的角是. 五