弹性力学第九章 柱形杆的扭转和弯曲.ppt

得到应力函数 (17) 式（1-17）代入截面系数D的计算式： 由此得 (18) (19) 由薄膜比拟可以推断，最大剪应力发生在矩形截面长边的中点,其值为 (20) 将式(19)和式(20)分别写成 (21) (22) 其中 和 都是仅与比值 有关的参数，这两个因子通过计算可以表示如下： 由表可见，对于很狭长矩形截面的扭杆， 很大，则 和 都趋近于1/3,这时式(21)和(22)分别简化为式(3)和(5)。 图 2 其中 和 都是仅与比值 有关的参数，这两个因子通过计算可以表示如下： §9.8 薄壁杆的扭转 狭长矩形杆件 a/b10 和g →0.333 最大切应力 单位长度扭转角 实际工程上经常遇到开口薄壁杆件，例如角钢、槽钢、工字钢等，这些薄壁件其横截面大都是由等宽的狭长矩形组成。无论是直的还是曲的，根据薄膜比拟，只要狭长矩形具有相同的长度和宽度，则两个扭杆上的剪应力没有多大差别。 一 开口薄壁杆件的扭转 a1 a2 a1 a1 a3 a2 a1 a3 设 及 分别表示扭杆横截面的第i个狭矩形的长度和宽度，Ti表示该矩形截面上承受的扭矩，T表示整个横截面上的扭矩，?i代表该矩形长边中点附近的剪应力， 为单位长度扭转角。则由狭长矩形的结果，得 (a) (b) 由式(a)得 (c) 这个横截面上的扭矩为 (d) 第九章 柱形杆的扭转 和弯曲 本章主要讨论任意截面柱形杆的自由扭转。 材料力学中研究了圆截面杆的扭转，采用了平面假设。 对非圆截面杆的扭转，一般横截面不再保持平面，即截面产生翘曲。 目录 §9.1 扭转问题的位移解法(圣维南扭转函数） §9.2 扭转问题的应力解法(普朗特应力函数） §9.3 扭转问题的薄膜比拟法 §9.4 椭圆截面杆件的扭转 §9.5 带半圆形槽的圆轴的扭转 §9.6 厚壁圆筒的扭转 §9.7 矩形截面杆的扭转 §9.8 薄壁杆的扭转 §9.1 扭转问题的位移解法----圣维南扭转函数 柱体扭转 横截面翘曲 自由扭转——横截面翘曲变形不受限制 约束扭转——横截面翘曲变形受到限制 弹性力学讨论自由扭转 自由扭转的位移 调和函数 柱体自由扭转位移解法 1. 2.翘曲假设 位移解法基本方程 Laplace方程 设单位长度相对扭转角为 柱体扭转边界条件 侧面边界条件 柱体的自由扭转的位移解法，归结为在边界条件（9-4）下求解方程（9-2）。 端面边界条件 x y 边界条件 侧面 端面 单连域取为0 §9.2 扭转问题的应力解法----普朗特应力函数 由： 可得： C=-2 ——普朗特（Prandtl）扭转应力函数 §9.3 扭转问题的薄膜比拟法 德国力学家普朗特（Prandtl） 基本思想： 作用均匀压力的薄膜与柱体扭转有着相似的微分方程和边界条件。 通过研究薄膜所张成的曲面的等高线，分析柱体扭转时横截面的应力分布 。 薄膜比拟 设有一均匀薄膜，张在一个水平边界上（边界形状和扭转柱体截面形状相同或成比例）。 x x y dx dy O T q z 在微小均匀压力作用下，薄膜产生垂度z（x,y）， 薄膜不承受弯矩、扭矩、剪力和面内压力，只能承受均匀拉力T, 在薄膜中取微单元abcd，其投影为矩形，边长为dx，dy；其上作用有侧向压力q和张力T。 dx dy a b d c 微单元在Oz轴方向的平衡： 各边的拉力及其在Oz轴上的投影： dx dy a b d c T 边 拉力 投影 ad bc ab dc 压力在Oz轴上的投影为 薄膜平衡方程： 即 在边界上，薄膜垂度为零 扭转应力函数： 边界条件 或 或 在薄膜曲面上，形象地表示出横截面上应力的分布情况。想象用一系列和 Oxy平行的平面与薄膜曲线相截，可得到一系列的曲线。显然，这些曲线是薄膜的等高线图。 薄膜的等高线，对应于扭转杆横截面上这样的曲线，其上各点的应力与曲线向切。这种曲线称为切应力线。 应力环量 通过比拟，可以定性地勾画出截面上应力分布的大致情况。要知道哪一点的切应力最大，就看看薄膜上哪一点的斜率最大。也就是说，薄膜上斜率最大点，就是对应的横截面上最大切应力的作用点。 研究图中某一条等高线所围成的薄膜的平衡，设这一部分薄膜的面积为A ，则 §9.4 椭圆截面杆件扭转 椭圆截面杆件 1.求应力函数 用逆解法，设应力函数为 B为待定常数，将式（b）代入式（9-8）得 (a) (b) 则 椭圆截面边界方程为： (a) 将式(c)代入式（9-12）得 因为 得 (c) (d) (e) 2.求应力分量 将式(c),（e）代入式（