圆的方程22.ppt

4.1.1 圆的标准方程 我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线．在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？ 复习引入 A M r x O y 当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了． 因此一个圆最基本要素是圆心和半径． x O y A (a,b) M r (x, y) 引入新课 如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b) 的距离． 符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？ 符合上述条件的圆的集合： 圆的方程 x O y A (a,b) M r (x, y) 圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能用什么公式表示？ 圆的方程 根据两点间距离公式： 则点M、A间的距离为： 即： 是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？ 圆的标准方程 点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上． 把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程（standard equation of circle）. 特殊位置的圆方程 因为圆心是原点O(0, 0)，将x＝0，y＝0和半径 r 带入圆的标准方程： 圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？ 得： 整理得： 例1 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆上． 解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是： 把 的坐标代入方程 左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上； 典型例题 把点 的坐标代入此方程，左右两边不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这个圆上． 例1 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆上． 解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是： 典型例题 A x y o M1 M2 怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？ 点与圆的位置关系 A x y o M1 M2 M3 从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上． 怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？ 点与圆的位置关系 A x y o M1 M2 M3 可以看到：点在圆外——点到圆心的距离大于半径 r ； 点在圆内——点到圆心的距离小于半径 r ． 例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程． 分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆． 解：设所求圆的方程是 （1） 因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是 典型例题 所以， 的外接圆的方程 ． 典型例题 解此方程组，得： 分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆． 解： 例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程． 例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C在直线上l：x － y+1=0，求圆心为C的圆的标准方