复变函数论1-2.ppt

第二节 复平面上的点集 1.2.1 复平面点集的几个基本概念 1.2.2 区域与约当(Jordan)曲线 1.2.3 典型例题 1.2.4 小结与思考 一、 平面点集的几个基本概念 定义1.1 邻域: 记作:N?(z0) N?(z0)={z | |z-z0|?} 记作：N?(z0)-{z0}={z | 0|z-z0|?} 定义1.2 聚点、外点、孤立点 如果z0属于E ，但不是E 的聚点，则称z0为E的孤立点. 如果z0不属于E ，又不是E的聚点，则称z0为E的外点. z0为E的孤立点???0: N?(z0)??E={z0} z0为E的外点???0: N?(z0)??E=? （或极限点） 定义1.3 内点: 如果 E 内每一点都是它的内点,那末E 称为开集. 如果在z0的任意一个邻域内,都有属于 E 的点,也有不属于E的点,则称z0为E的边界点。 z0为E的内点???0: N?(z0)??E 点集E的全体边界组成的集合称为E的边界.记为：??E 定义1.4 有界集和无界集: z x y 有界！ o 以下五种说法彼此等价： z0为E的聚点或极限点 z0的任一邻域含有E的无穷多个点（ z0 不必属于E） z0的任一邻域含有异于z0而属于E的一个点 z0的任一邻域含有E的两个点 存在E的一个点列 以z0为极限 定义1.5 区域: 如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域. (1) D是一个开集； (2) D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来. 二、 区域与Jordan曲线 D加上D的边界称为闭域。记为?D＝D+C z1 ? z2 ? D 说明 (2) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的. (1) 区域都是开的. 以上基本概念的图示 区域 邻域 边界点 边界 不包含边界！ 课堂练习 判断下列点集是否是区域? 区域 闭域 区域 区域 1 2 3 1 不是区域也不是闭域 表示右半平面 (1) 圆环域: 课堂练习 判断下列区域是否有界? (2) 上半平面: (3) 角形域: (4) 带形域: 答案 (1)有界; (2) (3) (4)无界. 定义1.7 连续曲线: 平面曲线C的复数表示: C的实参数方程 C的复参数方程 起点z(?) C终点z(?) z x y C o C的正向：起点??终点 没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔当曲线). 重点 重点 重点 换句话说, 简单曲线自身不相交. 定义1.9 光滑曲线: 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为逐段光滑曲线. 特点 （1）光滑曲线上的各点都有切线 （2）光滑曲线可以求长 简单闭曲线的性质?约当定理 任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成C,I(C),E(C) 三个互不相交的点集.满足： I(C) E(C) 边界 （1）I(C) 是一个有界区域（称为C的内部）. （2）E(C) 是一个无界区域（称为C的外部）. （3）若简单折线P的一个断点属于I(C)，另一个端点属于E(C) ，则P必与C相交. （4）C是I(C)，E(C) 的公共边界. 课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线? 答 案 简单 闭 简单 不闭 不简单 闭 不简单 不闭 定义1.11 单连通域与多连通域 复平面上的一个区域D, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域. 单连通域 多连通域 连续点集：至少含两个点，且不能划分成 两个无公共点的非空闭集的集合。 退化连续点集：空集与只含一个点的集合。 区域D边界为一个连续点集（包括退化）， 则称D为单连通区域。 区域D边界为互不相交的两个、三个、…、n个连续点集， 则称D为二连通、三连通、 …、n连通的区域。 如： 都表示二连通区域 三、典型例题 例1 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的. 解 无界的单连通闭域(如图). 是角形域, 无界的单连通域(如图). 无界的多连通域. 表示到1, –1的距离之和为定值4的点的轨迹, 是椭圆, 有界的单连通域. 例2 解 满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域? 是一条平行于实轴的直线, 不是区域. 单连通域. 是多连通域. 不是区域. 单连通域. 小结与思考 应理解区域的有关概念: 邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、区域、有界区域、无界区域