复变函数论第三版钟玉泉PPT第七章.ppt

转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关. 所以这种映射具有转动角的不变性. 相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角,在其大小和方向上都等同于经w=f (z)映射后C1与C2对应的曲线G1与G2之间的夹角,所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不变的性质.这种性质称为保角性。 在D内作以z0为其一个顶点的小三角形, 在映射下, 得到一个以w0为其一个顶点的小曲边三角形, 这两个三角形对应边长之比近似为|f (z0)|, 有一个角相等, 则这两个三角形近似相似. 例1 求将上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|1的分式线性变换. [解法一] 在x轴上任意取定三点:z1=-1, z2=0, z3=1使它们对应于|w|=1上三点:w1=1, w2=i, w3=-1, 则因z1?z2?z3跟w1?w2?w3的绕向相同, 所求的分式线性映射为 即把实轴映射成|w|=1. 又因为上半平面中的z=l映射成w=0, 所以(6.3.3)必将Im(z)0映射成|w|1. 所以 |k|=1, 即k=eij. 这里j是任意实数. 反之, 形如上式的映射必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1. 这是因为圆周|z|=1上的点z=eiq (q为实数)映射成圆周|w|=1上的点: 例5 求将单位圆映射成单位圆且满足条件(1/2)=0, w(1/2)0 的分式线性变换. 例3 求把下图中由圆弧C2与C3所围成的交角为a的月牙域映射成角形域j0arg wj0+a的一个映射. 由指数函数w = e z 所构成的映射的特点是: 把水平的带形域0Im(z)a(a?p)映射成角形域0arg wa. [解] 不难看出, 解决本题的关键显然是要设法将垂直于x轴的割痕的两侧和x轴之间的夹角展平. 由于映射w=z2能将顶点在原点处的角度增大到两倍, 所以利用这个映射可以达到将割痕展平的目的.首先, 把上半z平面向左平移一个距离a:z1=z-a. 第二, 由映射z2=z12, 得到具有割痕-h2?Re(z2)+?, Im(z2)=0的z2平面. 第三, 把z2平面向右作一距离为h2的平移: z3=z2+h2, 便得到去掉了正实轴的z3平面. 此点在第三象限的分角线C1上. 由保角性知C2映射为第二象限的分角线C2. 定理7.14(边界对应定理) 设 (1)单连通区域D与G的边界分别为C和T; (2)w=f(z)将D保形变换成G; 则f(z)可以扩张成F(z),使在D内F(z)=f(z),在 上F(z)连续,并将C双方单值且双方 连续地变成T. 7.4.1 边界对应定理 定理7.15(边界对应定理的逆定理,判断解析 函数单叶性的充分条件)设单连通区域D及G, 分别是两条围线C及T的内部.且函数w=f(z) 满足下列条件: (1)w=f(z)在区域D内解析,在D+C上连续, (2)w=f(z)将C双方单值地变成T. 则 (1)w=f(z)在D内单叶; (2)G=f(D)(从而w=f(z)将D保形变换成G). 证 证明的关键,在应用辅角原理来证明集合等式G=f(D). (1) 设w0为G内任一点.我们证明w0∈f(D), 而且方程f(z)-w0=0在C内部只有一个根.根据 辅角原理 (在z沿C的正方向绕行一周的假定下).有假设 条件(2),这时w=f(z)应沿T的正向或负向绕行 一周.因此,起点在w0终点在T上的向量w-w0应 该转角 .于是 负号显示应该除去(因为N≥0).因此我们肯定w=f(z)必须沿T的正向(T的内部在此方向的左边)绕行,并且方程 在区域D内只有一个根. (2)设 位于 的外部,则必 .因为 产生矛盾. 即方程 在D内无根. (3)设 为 上任意一点,则 在D内无根. 否则，若D内有一点 使 ,则可得一个以 为中心的圆周 ,使对 内部任意一点 ,方程 在D内有根。特别在 内部取一点 位于 的外部，由(2)知，方程 在D内无根， 由以上结果,可见函数w=f(z)在D内单叶,并将D保形变换为T的内部G. * 反之, 形如上式的分式线性变换必将上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|1. 因为当z取实数时 故有 从而得所求的映射为 解 由条件w(2i)=0知, 所求的映射要将上半平面中的点z=2i映射成单位圆周的圆心w=0. 所以由(6