大学医用高等数学习题2.ppt

习题二 高等数学.习题二 医学高数习题二 习 题 二 第二章：一元函数微分学 3. 设 f(x) 在 x=x0 点处可导, 试计算下列极限. 5. 讨论下列函数在点是否可导? f(x)在 x=0 处连续. 由导数定义有: f(x) 在 x=0 处连续, 由导数定义有: 6. 确定 a, b 的值, 使 在 x=1点处可导. 解: f(x) 在 x=1 处连续, 因此有 a+b=1 x=1 处左导数: 2x?x=1=2 右导数: a 因此有 a=2, b=-1 *7. 若函数 f(x) 在 x0 点可导, 且 f(x0)≠0, 试计算极限 8. 设曲线 y=2x-x3 (1) 求 (1, 1) 点处的切线方程及法线方程; (2) (x0, y0) 点处的切线通过 (0, -2) 点, 求 (x0, y0) 点及该点处的切线方程、法线方程. 8.(2) 解: 过 (x0, y0) 的切线方程: y-y0=(2-3x02)(x-x0) 因 y0=2x0-x03 y-(2x0-x03)=(2-3x03)(x-x0) 过 (0,-2), x=0, y=-2 代入: -2-2x0+x03 =-2x03 +3x03 x03 =-1, x0=-1, y0=-1 切线方程: y+1=-x-1 即 x+y+2=0 法线方程: y+1=x+1 即 y=x 12.(5)求导数 13. (1) y=xlnx (5) y = x2x+(2x)x y′=[e2xlnx+exln(2x)]′ =e2xlnx(2xlnx)′+exln(2x)[xln(2x)]′ = 2x2x(lnx+1)+(2x)x[ln(2x)+1] 14.求由下列方程确定的隐函数的导数. (1) y=1+xey y′=ey+xeyy′ (1+xey)y′=ey 14. (3) x y=y x 两边取对数：y ln x=x ln y 两边求导数： 15.试证明曲线 上任一点处的切线, 截两个坐标的截距之和为 a 解: 对方程两边求导: 切线方程: 化为截距式: 截距之和为 16.求下列函数的二阶导数 (3) y=xx ln y=x ln x 1/y·y′=ln x+1 y′=xx(ln x+1) 16.(4) 两边对 x 求导: 17.设 f ?(x) 存在, 求下列函数的二阶导数 y=f (x+e-x) y?=f?(x2) ·2x y?=2f?(x2)+f?(x2) ·4x2 (2) y=ln[f(x)] 19.一质点作直线运动, 其运动规律为 ,其中路程 s 的单位为米, 时间的单位为秒, 求质点在第四秒末的速度与加速度? 20. 许多肿瘤的生长规律为 其中, v 表示 t 时刻的肿瘤的大小(体积或重量), v0 为开始 (t=0) 观察时肿瘤的大小, a 和 A 为正常数. 问肿瘤 t 时刻的增长速度是多少? 26.利用 L′Hospital 法则求下列函数极限 (1) (2) 26. (3) 26. (4) 26. (5) 26. (6) 26. (7) 26. (8) 26. (9) 设函数 f(x) 存在二阶导数，f(0)=0, f?(0)=1,  f?(0)=2, 试求 因函数二阶可导，函数及其导数在 x=0 处连续 26. (10) 设函数有二阶连续导数,且 解: 化为指数函数 由洛必大法则 27.试确定下列函数的单调区间 (3) f(x)=xe-x , (4) (3) f′(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x)=0 驻点: x=1 当 x1 时 f′(x)0, 当 x1 时 f ?(x)0 因此在 (∞, 1) 内单调增加, (1, +∞) 内单调减少. 28. 求下列函数的极值. (2) (0, e) 内 f′(x)0 ↓， (e,+∞) 内 f′(x)0 ↑ x=e 为极小值点。 极小值 f(e)=e 28. (3) 28. (4) 驻点：x=2; x=3 处不可导。 当 x2 时