实变函数论3.1 外测度.ppt

从而 ，且 于是 3．1 外测度 由 的任意性知 。 看起来似乎外测度概念推广了通常的体 积概念，我们所期待的问题已经解决，但 是，当我们完成了在某个原始概念基础上推 广或建立一个新的概念后，首先必须回过头 3．1 外测度 来审查一下这一概念是否具有合理性，所谓 合理性就应包括下面两个方面的问题： 1、它是否的确为原始概念的自然推广？ 2、它是否继承了原始概念的基本特征？按 上述方式定义的外测度是不是长方体体 积概念的一种推广呢？ 这就要看看当 是长方体时，其体积与外测 度是否相等。为方便计算，以 为例来说 明这件事，一般情形可类似证明。假设 是 矩形或是从某个矩形挖去有限个开矩形后剩 3．1 外测度 下的部分， 是 的闭包（显然 与 有通 常的体积）。下面用归纳法证明，如果 是任意有限个盖住 的开矩形。 则 。如果 是某个开矩形，它将 盖住时，则显然有 。假设 是 个开矩形将 盖住时，有 。 3．1 外测度 往证盖住 的 个开矩形 也满足 记 ，则 仍是从矩形中挖去有限 个开矩形后剩下的部分，且 将 盖住（事实上，不难证明： ）。由归纳假设知 3．1 外测度 ， 于是 所以对任意有限个盖住 的开矩形 ， 有 。 3．1 外测度 下设 是任一列开矩形将 盖住，则由有 限覆盖定理知存在有限个 ，它们也 将 盖住，于是 ，进而 。由 的任意性知 。 由外测度的定义，不难看到 。于 是 3．1 外测度 即 。 故 。特别地，当 是 长方体时， 。至于相反的不等式则是 显然的。综上得 。 这说明外测度确是“体积”（或“面积”、 “长度”）概念的自然拓广。至此，集合的 3．1 外测度 “体积”问题似乎已得到解决，但事情远非如 此简单。 既然外测度是体积概念的自然推广， 那么当 时，应有 。 因为区间的长度或立体的体积都是具有可 加性的。遣憾的是，外测度并非对所有的 集合都具有可加性。事实上，如果对任意 3．1 外测度 两个不交的集合 都有 ， 则不难推知对任意有限个互不相交的点集 ，也有 进而对任意一列互不相交的点集 ， 有 3．1 外测度 令 便知 相反的不等式由外测度的性质3立得，所以 这就是说，只要外测度具有可加性，则它一 定具有可数可加性。然而下面的例子说明， 外测度并不具有这种性质。 3．1 外测度 例1 对任意 ，令 显然 ，故 非空，而且对任意 ， 如果 ，则 。事实上，若 ，则对任意 及 ， 均为有理数， 也为为理数， 于是 及 3．1