11第十一章曲线积分与曲面积分.DOC

第十一章 曲线积分与曲面积分 一、基本要求及重点、难点 1. 基本要求 (1) 了解第一类曲线积分（即对弧长的曲线积分）的概念及其物理与几何意义，并掌握其计算方法。 (2) 了解第二类曲线积分（即对坐标的曲线积分）的概念及物理意义，并掌握其计算方法，能熟练应用曲线积分计算力场沿曲线所做的功。 (3) 了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 (4) 掌握格林公式的条件和结论，熟练掌握利用格林公式把第二类曲线积分化为二重积分的计算方法。 (5) 掌握在单连通区域上第二类曲线积分与路径无关的等价条件及其应用，会求全微分的原函数。 2. 重点及难点 （1）重点： (a) 熟练选择适当的参数方程或坐标系将曲线积分化为定积分。 (b) 格林公式（熟练使用格林公式计算曲线积分）。 (c) 曲线积分与路径无关的概念及条件。 （2）难点： (a) 两类曲线积分的关系。 (b) 格林公式的灵活使用（条件、结论；辅助曲线的添加）。 二、内容概述 上一章，我们已经把积分概念从积分范围为数轴上一个区间的情形推广到了积分范围为平面或空间内一个闭区域的情形。本章将把积分范围推广到一段曲线弧或一片曲面的情形，并阐明有关这两种积分的一些基本内容。在xOy面内的光滑曲线上有界. (极限存在时) 其中是任意分割曲线为个小段弧后,所得到的第个小弧段上的任意一点,为该段弧的长度,． 为空间曲线时，类似地有 . 物理意义 设曲线的线密度为，则其质量为 性质1 运算性质 其中为常数． 性质2 对弧长的曲线积分与积分路径的向无关，即 其中是与方向相反的曲线弧． 性质3 对积分路径具有可加性，即 其中． (2)对坐标的曲线积分（又称第二类曲线积分） 定义 设在xOy面内的有向光滑曲线上有界. (极限存在时),其中是任意分割曲线为个有向小弧段后,所得的第个小弧段上的任意一点,为该段弧的长度,． 为空间曲线时，类似地有 . 物理意义 变力沿曲线所作的功为 ． 性质1 对坐标的曲线积分与积分路径的方向有关，即 , 其中是与方向相反的有向曲线弧． 性质2 对积分路径具有可加性，即 其中． （3）两类曲线积分之间的关系 平面曲线上两类曲线积分有如下关系 其中为平面有向曲线上点处的切线向量的方向角． 空间曲线上两类曲线积分有如下关系 其中为空间有向曲线上点处的切线向量的方向角． 2、曲线积分的计算公式 (1) 对弧长的曲线积分 设函数在平面曲线上连续 在区间上连续，且，则 设平面曲线的方程为且在区间上连续，则 设函数在空间曲线上连续，在区间上连续，且，则 注意 化对弧长的曲线积分为定积分时,定积分的上限一定比下限大． （2）对坐标的曲线积分 设函数在有向曲线上连续，的参数方程为: 为有向曲线的始点对应的参数值，为其终点对应的参数值．且在以为端点的区间上连续，，则 若是由方程给出,的始点的横坐标为,终点的横坐标为,具有一阶连续导数,则 类似地,对于空间曲线 为有向曲线的始点对应的参数值，为其终点对应的参数值． （3）二元函数的全微分求积 设函数,在单连通域内有连续的一阶偏导数,且，则在内为某一函数的全微分，且有 ，(如图 (a))或 ，(如图 (b))． 3、曲线积分的有关定理 定理1 (格林公式) 设闭区域是由分段光滑的曲线围成,函数在上具有连续的一阶偏导数，则有 ， 其中是的取正向的边界曲线． 定理2 (平面上曲线积分与路径无关的条件) 设函数,在单连通域内有连续的一阶偏导数,则以下四个条件等价 ①　与路径无关,即 , 其中、为内具有相同始点和终点任意曲线； ②　,其中为内的任意闭曲线; ③　在内恒成立; ④ ,即在内为某一函数的全微分． 4、曲面积分的基本概念与性质 （1）对面积的曲面积分（又称第一类曲面积分） 定义　设在光滑曲面上有界. (极限存在时) 其中是任意分割曲面为片小曲面后,所得到的第片小曲面上的任意一点,为该片小曲面的面积,为片小曲面的直径中的最大者． 物理意义 设曲面的面密度为，则其质量为 ． 性质 设曲面都是光滑的,则 （2）对坐标的曲面积分（又称第二类曲面积分） 指定了侧的曲面称为有向曲面． 定义 设在有向光滑曲面上有界. (极限存在时) (极限存在时) (极限存在时) 其中是任意分割有向曲面为片小曲面后,所得到的第片小曲面上的任意一点,分别为在三个坐标面上的投影.为片小曲面的直径中的最大者． 曲面在点处的单位法向量为 物理意义 稳定流动的不可压缩的流体（密度），如果在点处的流速是 , 单位时间内流过曲面一侧的流量 ． 性质1 设曲面则 性质2 设表示与取相反侧的有向曲面，则 （3）两类曲面积分之间的关系 空间曲面上的两类曲面积分有如下关系 其中是有向曲面上点处的法向量的