2008全国大学生数学建模竞赛获国家二等奖.DOCVIP

数码相机定位研究 摘要 对于问题一，建立模型确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标。在忽略摄像机镜头的非线性畸变的条件下，建立针孔模型（模型一），求解可得图像坐标系和世界坐标之间的投影矩阵（参数矩阵）。 对于问题二，在模型一的基础上，我们通过使用MATLAB确定像面上的18个切点和与之对应的世界坐标系中的18个切点，建立线性方程组，使用最小二乘法来确定参数矩阵，得到各圆心在像平面上的像坐标。 对于问题三，为了检验模型一的精度和稳定性，我们建立透镜一阶径向畸变的针孔相机模型，定义一个图像坐标的误差，其等于矫正后的图像坐标与理想图像坐标相比的平均值： 的单位是像素，当的值越小则其理想模型的误差越小，越稳定。 对于问题四，我们应用这两个相机中相机坐标系的坐标分别与世界坐标系中坐标之间的对应关系，可以求出这两个相机坐标系中任意两点之间的转换矩阵，由此矩阵即可确定这两个照相机之间的相对位置。 关键词 针孔模型，变换矩阵，畸变系数，最小二乘法。 问题重述 问题背景：数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。 标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。已知一设计好的靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆。用一位置固定的数码相机摄得其像。 问题: 如何建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光心，x-y平面平行于像平面； 对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标。 设计一种方法检验已建立的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论分析； 如何用已知靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。 二、问题分析 问题1： 由题意可知我们要建立三维空间中的物体到像平面的投影关系即为成像模型，理想的投影成像模型是光中的中心投影，也称为针孔模型。针孔模型假设物体表面的反射光都经过一个针孔而投影到像平面上，即满足光的直线传播条件。实际像系统通常都由透镜或者透镜组组成。两种模型具有相同的成像关系，即像点是物点和光心的连线与图像平面的交点。因此，可以用针孔模型作为摄像机成像模型摄像机的线性模型，经典的小孔模型。成像过程不服从小孔模型的称为摄像机的非线性模型。 是以像素为单位的图像坐标系坐标。 表示因成像平面坐标系正交倾斜引出的倾斜因子。 表示已无力单位为度量的成像平面坐标系的坐标。 是正交单位矩阵。 三维平移向量。 是世界坐标系分别与相机坐标系和成像坐标系之间的投影矩阵。 是在世界坐标系下坐标为的点。 为第个点的图像坐标。 为相机的焦距。 分别为相机A坐标系、相机B坐标系上的点到图像坐标系的投影矩阵。 分别为相机、相机B世界坐标系上的点到相机坐标系的投影矩阵。 行列变换的比例因子，即单位距离的像素数。 像素坐标中的行列坐标。 是像素坐标中的图像中心点的行列坐标。 （ 部分符号必要时在文中给出说明 ） 五、模型的建立及求解 5.1问题一模型建立与求解 计算机立体视觉测量系统是从摄像机获取的信息出发，计算三维景物的物体位置。要了解图像所携带的位置信息，必须了解三维景物是如何形成二维图像的几何模型。研究成像几何的目的就是建立物体空间和图像空间之间的坐标关系。作为中间过渡，加入摄像机坐标系。成像几何的研究就是建立三个坐标系之间变换关系。对于问题1我们采用摄像机定标研究的基本模型——针孔模型。 5.1.1参考坐标系 1.图像坐标系 摄像机采集的数字图像在计算机内可以存储为数组，数组中的每一个像素值即是图像点的亮度。如图5.1所示，在图像上定义直角坐标系，每一个像素的坐标分别是该像素在数组中的列数和行数。所以是以像素为单位的图像坐标系坐标。 图5.1图像坐标系与成像平