4_2细棒和球壳的转动惯量.pptVIP

{范例4.2} 细棒和球壳的转动惯量 (2)一匀质球壳的质量为M，内半径为R0，外半径为R，求球壳对通过球心的转轴的转动惯量。转动惯量与半径比R0/ R的关系是什么？ (1)一匀质细棒的质量为M，长为L，求以下三种情况下细棒对给定转轴的转动惯量。(a)转轴通过棒的中心并与棒垂直；(b)转轴通过棒的一端并与棒垂直；(c)转轴通过棒上离中心为D的一点并与棒垂直。转动惯量与距离D的关系是什么？ [解析](1)棒的质量线密度为λ = M/L， 如图所示，转动轴O通过棒的中心。 整个棒绕轴的转动惯量为 M x L dx x O -L/2 L/2 O 在棒上离轴x处取一线元dx，其质量为dm = λdx，转动惯量为dJC = x2dm = λx2dx。 {范例4.2} 细棒和球壳的转动惯量 (1)一匀质细棒的质量为M，长为L，求以下三种情况下细棒对给定转轴的转动惯量。(a)转轴通过棒的中心并与棒垂直；(b)转轴通过棒的一端并与棒垂直；(c)转轴通过棒上离中心为D的一点并与棒垂直。转动惯量与距离D的关系是什么？ 当转动轴移到棒的左端时，只是积分范围发生改变，转动惯量为 绕中心轴和绕端点轴的转动惯量都有ML2，只是系数有所不同。 不过利用平行轴定理立即可得 M x L dx x O -L/2 L/2 O D 当转动轴距离中心的转轴为D时，积分下限是-(L/2 - D)，积分下限是(L/2 + D)，也可求出转动惯量。 当D = 0时，J就是绕中心轴的转动惯量；当D = L/2时，J就是绕端点轴的转动惯量。 细棒的转动惯量随中心转轴的距离增加而增加。 细棒绕中心轴的转动惯量系数为1/12，绕端点轴的转动惯量系数为1/3。 {范例4.2} 细棒和球壳的转动惯量 (2)一匀质球壳的质量为M，内半径为R0，外半径为R，求球壳对通过球心的转轴的转动惯量。转动惯量与半径比R0/ R的关系是什么？ [解析](2)球壳的体积为 质量体密度为 如图所示，在球壳中取一体积元， 其质量为dm = ρdv = ρr2sinθdθdrdφ， 到转动轴z的距离为D = rsinθ， 转动惯量为dJ = D2dm = ρdφsin3θdθr4dr， 球壳的转动惯量为 M y r dv R O D z x θ φ R0 其体积为dv = r2sinθdθdrdφ， 当R0 = 0时，球壳变成球体，球体的转动惯量为 当R0→R时，球壳演变成球面，将分子和分母分别展开或利用罗必塔法则，可得球面的转动惯量 比较同一质量和半径的球体和球面，由于球面质量的分布离轴更远，其转动惯量更大。 {范例4.2} 细棒和球壳的转动惯量 球壳的转动惯量为 当球壳的质量和外半径一定时，球壳的转动惯量随厚度的减小而增加。 球体绕半径轴的转动惯量系数为2/5，球面绕半径轴的转动惯量系数为2/3。