7.3刚体的定轴转动-HEPG.pptVIP

力学（mechanics) 第七章 刚体力学 (Mechanics of Rigid body) 7.3 刚体的定轴转动 7.3 刚体的定轴转动 定轴转动：刚体上的每一个质元都在与转轴垂直的平面上绕转轴作圆周运动，自由度为1，刚体在t时刻的位置:角坐标?。 本节讨论刚体定轴转动的动力学问题：引入转动惯量的概念，角动量定理和转动定理。 研究方法：把质点系的角动量定理应用到刚体这种不变质点系。 在以下的讨论中，假定： 1、转轴沿坐标系的z轴。 2、定轴转动的角速度矢量为 一、对轴上一点的角动量 质点系对参考点O的角动量: 应用于刚体： 如果刚体的质量不是连续分布，可用上式求L 如果刚体的质量连续分布， 7.3 刚体的定轴转动 作定轴转动的刚体对于转轴（z轴）上任一取参考点O的角动量的计算： 刚体上一位矢为r的质元dm的线速度与刚体角速度矢量?的关系： v = ? ? r r ? v = r ? (? ? r) = r2? - (r · ?)r 其中利用了矢量的三重矢量积公式：A ? (B ? C) = (A · C)B – (A · B)C 将? = ?k 和 r = xi + yj +zk 代入上式 r ? v = r2?k - ?z(xi + yj + zk ) = (x2 + y2) ?k - ?z(xi + yj ) 在直角坐标系中的分解式： 7.3 刚体的定轴转动 如果刚体是由n个分离的质点组成的，各质点以同样的角速度?绕z轴作圆周运动： 几点说明： 在一般情况下，Lx和Ly不为零，故?与L的方向不同，这与v和p之间的关系不同; 只有当刚体的质量分布和几何形状都对轴对称时，Lx和Ly才为零，此时： L与?方向相同; 例如：半径为R长度为l，质量均匀分布的圆柱绕z轴做定轴转动，z轴沿其轴线，显然z轴是其对称轴，设密度? 同理Ly=0 7.3 刚体的定轴转动 又例：质量为m的两个质点由一根长度为l的轻质杆相连，转轴通过杆的中点。 7.3 刚体的定轴转动 二、刚体对一定转轴的转动惯量 刚体对z轴的角动量为对O点的角动量在z轴上的投影: Lz=[?mi(xi2+yi2)] ? ?刚体是分离的质点 Lz=[?v (x2+y2)dm] ? ?刚体的质量连续分布 定义： 刚体对定轴z的转动惯量： Iz= ?miri2 r2=(x2+y2)：质元到转轴的垂直距离的平方。 Iz=?v r2dm ? Lz=Iz ? 刚体对于固定轴的转动惯量Iz等于刚体中每个质元的质量与这一质元到转轴的垂直距离的平方的乘积的总和，与质元的速度无关。 几点说明： 由Iz的定义：刚体诸质元质量越大，离轴越远，则Iz越大； Iz的大小与刚体的几何形状和质量分布有关：形状相同的刚体，如果质量分布偏向离轴远的区域，则转动惯量大； 7.3 刚体的定轴转动 引入转动惯量后，刚体对转轴的角动量为： Lz=Iz ? Lz是对转轴的角动量。 注意：由于Iz是对转动轴的转动惯量，所以对刚体的任意转动 L ? I ? 即L和?之间不是简单的线性关系。 由于 L和?在一般情况下方向不同，所以如果I是标量，上式不可能成立， 对刚体的任意转动，I不是标量，而是张量=惯性质量。 ?与p和之v间的线性关系不同。 转动惯量的物理意义： 定轴转动? Lz=Iz ? pz=mvz ?质点运动: 转动惯量?Iz ?? m ?惯性质量? 物体惯性的量度 ?转动惯量=刚体对一定轴的转动惯性的量度。 7.3 刚体的定轴转动 转动惯量的计算（假定定轴为z轴，略去下标z) 课本205页表7.1列出了几种常见刚体的转动惯量，要求：