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第三章 圓與球面 §圓的方程式 主題1：圓的方程式 1.定義：在平面上與一定點等距離的所有點所成的圖形為圓。 2.圓的方程式： (1)標準式：已知圓心， (2)直徑式：已知圓直徑端點， (3)一般式：（由標準式展開） 特色：(a)、之參數式為 。 主題2：圓的判別式 方程式 令稱為圓之判別式 1.當時，圖形為圓，圓心半徑 2.當時，圖形為一點【點圓】 3.當時，沒有圖形【虛圓】 主題3：特殊圓的方程式 1.外接圓：過不共線三點、、的外 接圓。設圓為將代入，解出。 Apollonius圓： 平面上給了兩個定點A、B，，則P點軌跡為一圓，則P點軌跡為的中垂線。 3.圓的部分圖形： 參數式　　　參數式 方程式　　　　　　　方程式 參數式 §圓與直線的關係 主題1：圓與點之關係 ， 2.稱P點關於圓C的冪 (1)冪＞0則點在圓外且冪＝(切線長) (2)冪＝0則點在圓上(點為切點) (3)冪＜0則點在圓內。 主題2：圓與直線的關係 同一平面上，與圓之關係如下： 1.L與C相離（沒交點） 　無解 2.L與C相切（交一點） 　恰有一解切點＝圓心對直線的投影點 3.L與C相交（交二點） 　有二組解 4圓之切線： (1)斜率：以為圓心，半徑r，切線斜率為，。 (2)切點：一點到圓。 5.極線： ，圓。 極線＝。 (1)在圓上，極線＝切線。 (2)在圓外，極線＝切點弦。 (3)在圓內，極線＝平行以P為中點弦的軌跡。 (4)若在圓上，則過之切線方程式： 。 (5)若在圓外，則設切線（點斜式） 用d（圓心，切線）＝半徑，求出m。 m有二解，若m只有一解，表另一條切線為過之鉛直線。 在圓內則無切線。 主題3：圓與圓的關係 二圓圓心，半徑則兩圓，公切線 1.外離 2.外切 3.相交 4.內切 5.內離 6.外公切線長＝ 7.內公切線長＝ 8.外公切線方程式：設公切線交於 (1)【利用外分點求坐標】 (2)代入點斜式與圓聯立求切線【二解】 (3)公切線夾角為則 9.內公切線方程式：設公切線交於 (1)【利用內分點求坐標】 (2)代入點斜式與圓聯立求切線【二解】 10.正交：， ；。 主題4：圓系 1.根軸【等冪軸】：，，若關於圓，之冪相等，則P點的軌跡稱為根軸方程式為。若P在根軸上【二圓的交點在根軸上】 2.圓系： (1)；則過C與L交點之圓系 (2)，，則過交點之圓系：先求根軸再求根軸與圓之圓系求之。 §球面方程式 主題1：球面方程式 1.定義：空間中，與一定點等距離的所有點所成的圖形為球面。 2.球面方程式： (1)標準式：以為球心，r為半徑之球面方程式為：。 (2)直徑式：以　為直徑端點之球面方程式為：　　　　 (3)一般式：過不共面四點恰可決定一球。 設球面方程式為，將四點代入，解出d、e、f、g 則稱為球面之判別式 (1)若圖形為球面，球心，半徑。 (2)若圖形為一點。 (3)若沒有圖形。 §球面與平面方程式 主題1：球面與平面關係 設S為一球面，A為球心，E為平面則： 1.若，則S與E相離。 2.若，則S與E相切。切點＝球心對平面E的投影點 3.若，則S與E相交，交集為一圓。 ※圓心＝球心對平面E的投影點，半徑＝ 4.大圓：過球心的平面所截之圓面積最大，稱為大圓。 5.小圓：不過球心的平面所截之圓，稱為小圓。 主題2：球面之切平面 1.過球面上一點作球之切平面只有一個，。 ※球心至平面距離＝球半徑，球心至切點的向量＝平面的法向量。 2.過球外一點作球面之切平面有無限多個，所有切點形成一截面圓且諸切線長均為。 3.在球面外；則對球面作切線；所有切點在平面上，則： (a) (b).所有切點形成圖形為一圓，其圓心＝P對平面E的投影點。 (c).對球面作切線與所有切點形成圖形為一直圓錐則： 圓錐高＝，圓半徑＝， 切線長＝，直圓錐體積＝底面積×高。 主題3：地球的經度和緯度 1.地軸：貫穿南、北兩極的直線。 2.經線：以地軸為直徑的大圓叫做經線（分為東經線和西經線） 3.緯線：與地軸垂直的圓叫做緯線，其中的大圓叫做赤道。赤道以北的緯線（都是小圓）叫做北緯線。赤道以南的緯線（都是小圓）叫做南緯線。 4.地球上兩點的距離：球面上A、BO與A、B的弧長。 １