导数的概念-Graphics@XMU.PPT

返回 后页 前页 导数是微分学的核心概念, 是研究函数 §1 导数的概念 一、导数的概念 化率”, 就离不开导数. 三、导数的几何意义 二、导函数 态的有力工具. 无论何种学科, 只要涉及“变 与自变量关系的产物, 又是深刻研究函数性 返回 一、导数的概念 一般认为, 求变速运动的瞬时速度，求已知曲线 别在研究瞬时速度和曲线的 牛顿 ( 1642－1727, 英国 ) 两个关于导数的经典例子. 切线时发现导数的. 下面是 微分学产生的三个源头. 牛顿和莱布尼茨就是分 上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是 1. 瞬时速度 设一质点作直线运动, 质点的位置 s 是 当 t 越来越接近 t0 时，平均速度就越来越接近 t0 时间 t 的函数, 即其运动规律是 则在某 (1) 时刻的瞬时速度. 严格地说, 当极限 时刻 t0 及邻近时刻 t 之间的平均速度是 2. 切线的斜率 如图所示, 存在时, 这个极限就是质点在 t0 时刻的瞬时速度. 其上一点 P( x0, y0 ) 处的切线 点击上图动画演示 点 Q , 作曲线的割线 PQ ，这 PT. 为此我们在 P 的邻近取一 需要寻找曲线 y = f (x) 在 条割线的斜率为 答: 它就是曲线在点 P 的切线 PT 的斜率. 的极限若存在，则这个极限 会是什么呢？ 设想一下,当动点 Q 沿此曲线无限接近点 P 时， (2) 上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同 x0 处关于 x 的瞬时变化率(或简称变化率). 均变化率，增量比的极限 (如果存在) 称为 f 在点 的极限. 这个增量比称为函数 f 关于自变量的平 D y = f (x) – f (x0) 与自变量增量 D x = x – xo 之比 一类型的数学问题： 求函数 f 在点 x0 处的增量 定义1 设函数 y =f (x) 在点 x0 的某邻域内有定 义，如果极限 存在, 则称函数 f 在点 x0 可导, 该极限称为 f 在 如果令 Dx = x – x0, Dy = f (x0 +Dx) –f (x0), 导数就 x0 的导数，记作 可以写成 这说明导数是函数增量 D y 与自变量增量 D x之比 例1 求函数 y = x3 在 x = 1 处的导数，并求该曲 线在点 P (1,1) 的切线方程. 解 的极限,即　　　就是 f (x) 关于 x 在 x0 处的变化 点 x0 不可导. 率. 如果 (3) 或 (4) 式的极限不存在, 则称 在 由此可知曲线 y = x3 在点 P(1, 1) 的切线斜率为 所以 于是所求切线方程为 即 例2 常量函数 f (x) = c 在任何一点 x 的导数都为 例3 证明函数 f (x) = | x | 在 x = 0 处不可导. 证 因为 时它的极限不存在, 所以 f (x) 在 x = 0 当 零. 这是因为 Dy ? 0，所以 处不可导. 例4 证明函数 在 x = 0 处不可导. 不存在极限,所以 f 在 x = 0 处不可导. 证 因为当 时, (5)式称为 f (x) 在点 x0 的有限增量公式, 这个公 有限增量公式 设 f (x) 在点 x0 可导，则 这样, 函数 f (x) 的增量可以写成 根据有限增量公式即可得到下面定理. 时的无穷小量，于是 e D x = o(D x). 是当 式对 Dx = 0 仍然成立. 定理5.1 如果函数 f 在点 x0 可导, 则 f 在点 x0 连续. 值得注意的是函数在某点连续仅是函数在该点可 其中 D(x) 是熟知的狄利克雷函数. 例5 证明函数 仅在 x = 0 处可导, 处连续，却不可导. 导的必要条件. 如例3、例4 中的函数均在 x = 0 不连续, 由定理 5.1, f (x) 在点 x0 不可导. 由于导数是一种极限, 因此如同左、右极限那样, 所以有 当 x0 = 0 时, 因为 证 当　　　时,用归结原理容易证明 f (x) 在点 x0 可以定义左、右导数 ( 单侧导数 ). 存在，则称该极限为 f (x) 在点 x0 的右导数, 记作 类似地可以定义左导数 , 合起来即为: 上有定义，如果右极限 定义2 设函数 y =f (x) 在点 　的某个右邻域 右导数和左导数统称为单侧导数. 定理5.2 如果函数 y =f (x) 在点 x0 的某个邻域内有 在讨论分段函数在分段点上的可导性时, 本结论 定义，则 存在的