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第九讲 分解质因数
质数:一个大于1的数除了1和它背身之外,没有别的因数,这个数就做质数,也叫做素数。
合数:一个数除了1和它本身之外,还有别的因数,这个数叫做合数。
质因数:如果某个质数是某个数的因数,那么这个质数就是这个数的质因数。
分解质因数:把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式:N=×××......×,其中、、、、......,都是合数N的质因数,且......。
求因数个数的公式:P=。
例一:求135因数的个数。
分析:首先对l35分解质因数:
3 135
3 45
3 15
5
所以l35=3×3×3×5。
其次,把l35的质因数作各种乘积的组合:
(1)一个质因数构成的因数有:3、5,共2个;
(2)两个质因数构成的因数有:3×3、3×5,共2个;
(3)三个质因数构成的因数有:3×3×3、3×3×5,共2个;
(4)四个质因数构成的因数有:3×3×3×5,只有1个;
(5)单位1。
合计共有因数:
2+2+2+1+1=8(个)
也可以:l35=1×135 135=3×45 135=5×27 135=9×15
或可由135=33×5,套用求因数的个数公式:P=(3+1)×(1+1)=8(个)
因此:135的因数共有8个,分别是:l,3,5,9,15,27,45,135。
练习一
写出852的所有因数。
2.求294000有几个因数?
例二: 李强是一个中学生,今年参加一次数学竞赛,满分l00分,他说:“我的名次、分数和我的年龄乘起来是3738,成绩还不错。”李强得了多少分?获得第几名?今年多大了?
分析:把3738分解质因数,根据他是一名中学生确定其年龄大约是十几岁,然后确定其成绩和名次。
解:3738=2×3×7×89=3×(2×7)×89
答:李强得了89分,获得第三名,今年l4岁。
练习二
1.今年小阳参加了中学数学竞赛,取得了较好的成绩,小红问小阳的竞赛成绩及获得的名次,小阳说:“我的名次和我的岁数及我的分数的乘积是2910。”请问:小阳的成绩和名次各是多少?
2.六年级学生丁当参加数学竞赛,他所获得的名次和成绩若与自己的年龄相乘,积正好是2328。问:丁当几岁?名次和成绩又是多少?
例三:将14、30、33、35、39、75.143、169这八个数分成两组,使每组四个数的乘积相等。
分析:把八个数分成两组,要使两组中的四个数的乘积相等,就是要把积分解质因数,两个积所含有的质因数及质因数的个数完全相同,这样就保证两个积相等。为此我们可以把八个数分别分解质因数,再按上述原则对这八个数进行搭配,即可满足题目要求。
14=2×7 30=2×3×5
33=3×11 35=5×7
39=3×13 75=3×5
143=11×13 169=13
这八个数的所有质因数中有2个2、4个3、2个7、2个11、4个5、4个13。所以在分成两组时,每组数都要含有l个2、2个3,1个7、1个11、2个5、2个13。这样经过搭配可以找到两种分法。
第一种分法:l4、33、75、169和30、35、39、143。
14×33×75×169=2×7×3×11×3×5×5×13×13=2×3×5×7×11×13
30×35×39×143=2×3×5×5×7×3×13×13×11=2×3×5×7×11×13
第二种分法:30、33、35、169和39、14、75、143。
练习三
1.把7、14、20、21、28、30分成两组,每组三个数相乘,使两组数的乘积相等。
2.有l0个数:21、22、34、39、44、45、65、76、133和153。把它们编成两组,每组五个数,要求这两组五个数的乘积相等。
例四:三个质数的和是80,这三个数的积最大可以是多少?
分析:三个质数相加的和是偶数,必定有一个质数是2。80-2=78,剩下两个质数的和是78,要使它们的积最大,应使这两个质数的差尽可能的小,只能是41和37。因此这三个质数分别是2,37和41。
答:最大积是:2×37×41=3034。
练习四
1.如果A+B=70,A×B=1161,A比B大,那么A-B等于多少?
2.把1,2,3,4,5,6,7,8,9九张卡片分给甲、乙、丙三人,每人各3张。甲说:“我的三个数的积是48。乙说:“我的三个数的和是16。丙说:“我的三个数的积是63。’’问:甲、乙、丙各拿了哪几张卡片?
例五:有四个数相乘,225×196
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