logo 25 用正交多项式系组成拟合函数的多项式拟合.ppt

3.1.2 用正交多项式作最小二乘拟合 下面用归纳法证明这样给出的 是正交的，由（3.10）式第二次及（3.11）式中 的表达式，有 3.1.2 用正交多项式作最小二乘拟合 再看 3.1.2 用正交多项式作最小二乘拟合 3.2 非线性模型的曲线拟合 当前研究的非线性模型主要是指参数或自变量是非线性的，形式复杂多样，常见的有多项式形式、双曲线形式、对数形式、幂函数形式等等，更复杂的有修正指数曲线、Compterz曲线以及Logistic曲线等。如何根据数据的大致规律来选择合适的模型，是拟合的关键。总的来说有两中可参考的方法：一是根据散点图来确定类型，即由散点图的形状大体确定模型类型；二是根据专业知识和经验，判断研究的数据曲线属于什么类型。现在研究非线性模型的方法用得最多的就是最小二乘法。 3.2.1 牛顿迭代 无论采取什么方式变换都不可能实现线性化，这样的模型称为不可线性化模型。对于不可线性化模型，一般采用高斯一牛顿迭代法进行参数估计，即借助于泰勒级数展开式进行逐次的线性近似估计。 第一步：做Logit-Ln线性回归，求 的初值。此时x不能为0值，若输入的x有0值，则将其设为一小值（例如：0.00001）。首选将原方程变形为如下线性形式： 将 初值设为输入的y值的最大值加1， 的初值设为输入的y值的最小值减0.1。通过简单的直线拟合即可求出 的初值。 第二步：对Logistic方程四个参数求偏微分，得到y对给定系数的增量 的泰勒级数展开式。 3.2.1 牛顿迭代 泰勒级数展开式为： 由此，将曲线回归转化为多元线性回归，通过迭代计算，得到四个参数的变量 ，逐步修正四参数的值。多元线性回归与多项式拟合方法相同。 每一次迭代可计算出参数变量值，新的参数值为原参数值与变量值的叠加。 第三步：为保证迭代收敛，在计算相关系数时，引入一系数a，初值设为2，将a与参数的变量矩阵相乘，计算相关系数。a=a/2，循环10次，每次a的值减半。取循环中得到的相关系数最大的变量矩阵 第四步：默认总的迭代次数为1000次，或者当相关系数不再减小时，则迭代停止。返回得到的四参数值。 3.2.2 常见非线性模型 对于解释变量是非线性的，但参数之间是线性的模型，可以利用变量直接代换的方法将模型线性化，通过线性拟合来计算。 1.多项式函数模型 多项式函数形式 令 原模型可化为线性形式 即可利用多元线性回归分析的方法处理了。这类模型广泛地用于生产和成本函数。 例如总成本函数可表示为： 其中，y表示总成本，表示产出。 2．双曲线模型 双曲线函数形式 3.双对数函数模型 函数形式 ? 3.2.2 常见非线性模型 所以弹性为一常数。它表示x变动1%，y变动 了。由于这个特殊的性质，双对数模型又称为不变弹性模型。 4.半对数函数模型 函数形式 对于线性-对数模型 ? 它表示x变动1%，y将变动 个单位的绝对量。即y的绝对变化量等于 乘以x的相对变化量。 5.逻辑斯蒂（Logistic）曲线 函数形式 ? 令 则有 3.2.2 常见非线性模型 Matlab案例-实验1 实验1 超定方程组的最小二乘解 ? 附上matlab代码： %最小二乘计算超定线性方程组 a=[1 -2 1 0 1 -1 2 -4 3 4 -7 4]; ? b=[-4 3 1 -6]; %形成法方程 A=a*a; B=a*b; %按求解法方程 x1=A\B x2=a\b Matlab案例-实验2 实验2 最小二乘法估计得SVD分解计算方法 Matlab案例-实验2 Matlab案例-实验2 Matlab案例-实验3 Matlab案例-实验3 Matlab案例-实验3 结论与展望 结论与展望 结论与展望 结论与展望 结论与展望 结论与展望 本文是在研究红外光谱的分析原理基础上,根据红外光谱仪工作的具体情况 下,利用所学的滤波和插值拟合的方法对红外光谱中存在的基线漂移现象进行研 究并校正。本文在基于滤波的方法中提出了中值滤波与小波变换的综合处理算 法。这种方法是采用中值滤波算法从光谱信号中提取基线信号的大概轮廓,然后 采用小波变换的方法对基线信号进行进一步平滑与校正。中值滤波算法可以获得 基线信号的大概轮廓,与此同时也会带来“台阶