概率论与数理统计-2.2随机变量函数分布.ppt

;;一般地，设y =f (x)是一元实函数，X是一个随机变量，若X的取值在函数y =f (x)的定义域内，则Y=f (X)也为一随机变量。;1. X是离散型随机变量;(1) 若g(xk)互不相同，则事件{Y=yi=g(xi)}等价于事件{X=xi}，从而Y=g(X) 的概率分布为：;(2) 若某些g(xi) 相同，比如 g(xi1)＝ g(xi2)＝…= g(xil) = yi , (i=1,2,…) 则事件{Y=yi=g(xi)}等价于事件 {X=xi1} ∪ {X=xi2} ∪ … ∪{X=xil} 从而有：;步骤：1. 确定Y的取值 y1 , y2 , …, yi ,… 2. 求概率 P(Y=yi)=?pj 3. 列出概率分布表;X;Y;例 设X~B(2,0.3)，求下列随机变量的分布列 1. Y1=X2 2. Y2= X2-2X 3. Y3=3X- X2;例 设X服从参数为λ的泊松分布，试求Y=f (X)的分布列. 其中;2. X是连续型随机变量;例 设随机变量 ，求X的线性函数 的密度函数;从而，求导数得：;由此得到???从正态分布的随机变量的一个重要性质：;定理2.3.1 设连续型随机变量X具有概率密度函数fX(x)，又设函数y=g(x)是x的单调函数，其反函数 g－1 (y)有连续导数，则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度函数为:;证;(2) g(x)严格单调减小时，此时其反函数g－1 (y)在(α,β)也严格单调减小，则;于是得Y的概率密度：;例 设随机变量X的概率密度函数为;例 设随机变量;由于x0时;例 设随机变量X的概率密度函数为;例 设随机变量X具有概率密度;于是得Y=2X+8的概率密度为：;例2.3.4 设随机变量X具有概率密度; 当 y0 时有;特别地，若X~N(0,1)，其概率密度为：