数模训练：微积分应用.ppt

; 1. 雨中行走问题 人在雨中沿直线从一处向另一处行走,当雨的速度已知时,问人行走的速度多大时才能使淋雨量最小? ;假设 1.人行走的路线为直线，行走距离为L。 2.雨的速度不变。 3.人体为长方体。 ;淋雨量：通量！; 单位时间内的淋雨量正比于 | vx －ｕ|＋| vy |ｂ＋| vz |ｃ 从而总淋雨量正比于 R(u)=(| vx －ｕ|＋| vy |ｂ＋| vz |ｃ)T, (行走的时间为 L/u.) =(| vx －ｕ| +a)L/u (a=| vy |b+| vz |c 0);vx a; ;2. vx = a; ;;2.服药问题 医生给病人开处方时必须注明两点：服药的剂量和服药的时间间隔。超剂量的药品会对身体产生严重不良后果,甚至死亡,而剂量不足,则不能达到治病的目的。已知患者服药后,随时间推移,药品在体内逐渐被吸收,发生生化反应,也就是体内药品的浓度逐渐降低。药品浓度降低的速率与体内当时药品的浓度成正比。 在等间隔服药 ， 一次服药量为A的情况下，试分析体内药的浓度随时间的变化规律.;假设 当一次服药量为A时，体内药品的浓度瞬间增加a。 记 T—服药间隔 x(t) — t 时刻体内药品的浓度;等间隔多次服药(服药的脉冲性)：;在区间[0, T)上解为： x(t)=ae-kt t∈ [nT, (n+1)T),n=0,1,2,… 在区间[T, 2T)上解为： x(t)= (a+ae-kT)e-k(t-T) 在区间[2T, 3T)上解为： x(t)= (a+ae-kT +ae-2kT)e-k(t-2T) … 在区间[nT, (n+1)T)上解为： x(t)= (a+ae-kT +ae-2kT +…+ ae-nkT )e-k(t-nT) =a(1- e-(n+1)kT )/ (1- e-kT ) e-k(t-nT) =a(1- e-(n+1)kT )/ (1- e-kT ) e-k(t-nT) … 由此看出，药的浓度在人体中呈上升趋势，且最后稳定在一定的水平。;当T=8,k=0.1, a=0.1 时，数值计算的结果如下图所示：;3.交通管理中的黄灯时间  在十字路口的交通管理中,亮红灯之前,要亮一段时间黄灯,这是为了让那些正行驶在十字路口上或距十字路口太近以致无法停下的车辆通过路口.那么,黄灯应该亮多长时间呢? ;1) 问题分析 在十字路口行驶的车辆中,主要因素是机动车辆。驶近交叉路口的驾驶员,在看到黄色信号后要做出决定:是停还是要通过路口。 假设他按法定速度(或低于法定速度)行驶。 当决定停车时,他必须有足够的停车距离。少于此距离时不能停车,大于此距离时必须停车。等于此距离时可以停车,也可以通过路口。 当决定通过路口时,他必须有足够的时间使他完全通过路口,这包括作出决定的时间、通过十字路口的时间以及通过停车所需的最短距离的驾驶时间。; 于是,黄灯状态应该持续的时间包括驾驶员的决定时间(反应时间)、通过十字路口的时间和停车距离的驾驶时间。 (2) 建模与求解 记T1——驾驶员反应时间, T2——汽车通过十字路口的时间, T3——停车距离的驾驶时间, 则 黄灯应亮的时间为： T= T1 + T2 + T3 下面计算T2 、T3 设 法定行驶速度为v0,十字路口的长度为 I,典型的车身长度为L,则汽车通过十字路口的时间为: T2 =(I+L)/v0 ; 停车过程是通过驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力,使汽车减速直到停止。 设 m 为汽车质量,f为刹车摩擦系数,x(t)为行驶距离。 由牛顿第二定律,刹车过程满足下述运动方程;再积分一次,并代入条件x(0)=0得;4.新产品销售量 一种耐用新产品进入市场后,一般会经过一个销售量先不断增加,然后逐渐下降的过程,称为产品的生命周期(Product Life Cycle),简记为PLC。 PLC曲线可能有若干种情况,其中有一种为钟型，试建立数学模型分析此现象。;1）问题分析 当一个新产品进入市场时,其有关信息的传播一般有两个途径: ① 经营者或厂家提供的广告；