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2003年上海市普通高校春季高考数学试卷 (2003.12.20) 一、填空题（本大题满分48分） 1．若复数满足，则的实部是__________. 2．方程的解__________. 3．在中，分别是、、所对的边。若，，， 则__________. 4．过抛物线的焦点作垂直于轴的直线，交抛物线于、两点，则以为圆心、 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数，则方程的解__________. 6．如图，在底面边长为2的正三棱锥中，是的中点，若 的面积是，则侧棱与底面所成角的大小为_____________ 7．在数列中，，且对任意大于1的正整数，点在直线 上，则_____________. 8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第个图中有___________个点. （1） （2） （3） （4） （5） 9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇。若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 10．若平移椭圆，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与轴、轴分别 只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________. 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为. 12．在等差数列中，当时， 必定是常数数列。然而在等比数列中，对某 些正整数、，当时，非常数数 列的一个例子是____________. 二、填空题（本大题满分16分） 13．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ） （A） （B） （C） （D） 14．若非空集合，则“或”是“”的 （ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件 15．在中，有命题①；②；③若，则为等腰三角形；④若，则为锐角三角形.上述命题正确的是 （ ） （A）①② （B）①④ （C）②③ （D）②③④ 16．若，，则下列不等式恒成立的是 （ ） （A） （B） （C） （D） 三、解答题（本大题满分86分） 17. 在直角坐标系中，已知点和点，其中. 若向量与垂直，求的值. 18.已知实数满足不等式，试判断方程有无实根，并给出证明. 19. 某市2003年共有1万辆燃油型公交车。有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？ (2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？ 20.已知函数，（为正常数），且函数与的图象在轴上的截距相等。（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间；（3）若为正整数，证明：. 21.已知倾斜角为的直线过点和点，在第一象限，. (1) 求点的坐标；(2)若直线与双曲线相交于、两点，且线段的中点坐标为，求的值；(3)对于平面上任一点，当点在线段上运动时，称的最小值为与线段的距离. 已知点在轴上运动，写出点到线段的距离关于的函数关系式. 2003年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案 一、填空题 1．1 2．2 3．2 4． 5．1 6． 7．3 8． 9． 10． 11．34 12．，与同为奇数或偶数 二、选择题 13．D 14．B 15．C 16．B 三、解答题 17. 由，得，利用，化简后得 ，于是或，，. 18. 由，解得，. 方程的判别式. ，，，由此得方程无实根. 19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列，其中 则在2010年应该投入的电力型公交车为（辆）。 (2)记，依据题意，得。于是（辆），即， 则有因此。所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的。 20. (1) 证：； (2) 解：在斜三棱柱中，有，其中为 平面与平面所组成的二面角. 上述的二面角为,在中， ， 由于， 有. 21.(1)由题意，，又，所以。 (2),当时，，它在上单调递增； 当时，，它在上单调递增。 (3)设，考查数列的变化规律：解不等式，由，上式化为,解得，因得，于是，而 所以。 22. (1) 直线方程为，设点，由及，得，，点的坐标为。 （2）由得，设，则，得。 （3）(解