高中数学奥赛讲义：集合.pdf

高中数学奥赛：集合讲义、强化训练和参考答案 内容综述： 本讲先介绍了以下一些重要的概念：集合、子集、两集合相等、真子集、并集、交集、 相对补集，然后介绍了著名的容斥原理，接着介绍了以下几个定律：零律、分配律、排中 律、吸收律、补交转换律、德·摩根律。 然后通过 6 道例题分析了一部分集合题目的解题方法与技巧，同学们应在熟悉以上定 义、定理、定律的基础上仔细分析例题材解法，争取可以独立解决训练题。 要点讲解： §1．基本理论 除了课内知识外，我们补充以下知识 相对补集：称属于A 而不属于B的全体元素，组成的集合为 B 对A的相对补集或差集， 记作 A-B。 容斥原理：以 表示集合 A 中元素的数目，我们有 园 雅 ， 其中 为 n 个集合 称为 A的阶。 博 n 阶集合的全部子集数目为 。 A，B，C为三个集合，就有下面的定律。 师 （1）分配律 （2）零律 京 （3）排中律 （4）吸收律 （5）补交转换律 （6）德·摩根律的相对形式 例题分析： 例 1：对集合{1，2，…，n}及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”如 下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例如，集 合 的“交替和”是 9-6+4-2+1=6. 的“交替和”是 6-5=1， 的交替和是 2。 那么，对于 n=7。求所有子集的“交替和”的总和。 分析；n=7 时，集合{7，6，5，4，3，2，1}的非空子集有 个，虽然子集数目有 限，但是逐一计算各自的“交替和”再相加，计算量仍然巨大，但是，根据“交替和”的 定义，容易看到集合{1，2，3，4，5，6，7}与{1，2，3，4，5，6}的“交替和”是 7；可 以想到把一个不含 7 的集和 A 与 的“交替和”之和应为 7。那么，我们也就很容易 解决这个问题了。 解：集合{1，2，3，4，5，6，7}的子集中，除去{7}外还有 个非空子集合，把 园 这 个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和，结组原则是设 雅 这是把 结合为一组，显然，每组中，“交替和”之 和应为 7，共有 组.所以,所有“交替和”之和应该为 。 博 说明：我们在这道题的证明过程中用了这类题目最典型的解法。就是“对应”的方法， “对应”的方法在解决相等的问题中应用得更多。 师